Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2024

Dado un material conductor, se observa que al incidir luz monocromática de frecuencia $1{,}4\cdot10^{15}\ \text{s}^{-1}$ emite electrones con velocidad máxima de $10^{6}\ \text{m/s}$. Determine:

a) El trabajo de extracción del material y la longitud de onda de la luz incidente.

b) La longitud de onda de De Broglie de los electrones emitidos con esa velocidad máxima.

c) Si incide luz monocromática de longitud de onda de $10^{-8}\ \text{m}$, cuál será ahora la velocidad máxima de los electrones emitidos.

Datos: $m_e = 9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

$\textbf{a) El trabajo de extracción del material y la longitud de onda de la luz incidente.}$










La ecuación del efecto fotoeléctrico reparte la energía de cada fotón entre el trabajo de extracción y la energía cinética del electrón arrancado:

$h\,f = W_0 + E_{c,\max}$





La energía cinética máxima se obtiene de la velocidad máxima de los electrones:

$E_{c,\max} = \dfrac12\,m_e\,v_{\max}^2 = \dfrac12\cdot9{,}11\cdot10^{-31}\cdot(10^{6})^2 = 4{,}56\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Y la energía del fotón, de su frecuencia:

$h\,f = 6{,}63\cdot10^{-34}\cdot1{,}4\cdot10^{15} = 9{,}28\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Despejando:

$W_0 = h\,f - E_{c,\max} = 9{,}28\cdot10^{-19} - 4{,}56\cdot10^{-19} = 4{,}73\cdot10^{-19}\ \text{J}$

$W_0 = \dfrac{4{,}73\cdot10^{-19}}{1{,}60\cdot10^{-19}} = 2{,}95\ \text{eV}$

La longitud de onda de la luz incidente, que se propaga en el vacío:

$\lambda = \dfrac{c}{f} = \dfrac{3\cdot10^{8}}{1{,}4\cdot10^{15}} = 2{,}14\cdot10^{-7}\ \text{m}$

$\textbf{b) La longitud de onda de De Broglie de los electrones emitidos con esa velocidad máxima.}$

La hipótesis de De Broglie asocia a toda partícula en movimiento una longitud de onda:

$\lambda = \dfrac{h}{p} = \dfrac{h}{m_e\,v}$

$\lambda = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{9{,}11\cdot10^{-31}\cdot10^{6}} = 7{,}28\cdot10^{-10}\ \text{m}$

$\textbf{c) Si incide luz monocromática de longitud de onda de } \boldsymbol{10^{-8}\ \text{m}}\textbf{, cuál será ahora la velocidad máxima de los electrones emitidos.}$

El trabajo de extracción es una propiedad del material y no cambia. Lo que cambia es la energía del fotón:

$E = h\dfrac{c}{\lambda} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{10^{-8}} = 1{,}99\cdot10^{-17}\ \text{J}$

$E_{c,\max} = E - W_0 = 1{,}99\cdot10^{-17} - 4{,}73\cdot10^{-19} = 1{,}94\cdot10^{-17}\ \text{J}$

$v_{\max} = \sqrt{\dfrac{2\,E_{c,\max}}{m_e}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}94\cdot10^{-17}}{9{,}11\cdot10^{-31}}} = 6{,}53\cdot10^{6}\ \text{m/s}$

Con una radiación mucho más energética, ya en el ultravioleta lejano, los electrones salen unas seis veces y media más rápidos.