Ejercicio resuelto de Física relativista · Física · 2024

Un individuo en reposo respecto de una varilla mide la longitud de ésta y obtiene $L_0$. ¿A qué velocidad se debe mover el individuo respecto de la varilla para que la longitud medida de la varilla sea un tercio de la medida en reposo?

Dato: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

Para el observador que se mueve respecto de la varilla, la longitud medida es menor que la propia: es la contracción de la longitud, uno de los efectos de la relatividad especial.

$L = L_0\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}$

donde $L_0$ es la longitud propia, medida por el observador en reposo respecto de la varilla.

Se impone la condición del enunciado, que la longitud medida sea un tercio de la propia:

$\dfrac{L_0}{3} = L_0\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}$

La longitud propia se simplifica, de modo que el resultado no depende de lo larga que sea la varilla:

$\dfrac13 = \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} \;\Rightarrow\; \dfrac19 = 1 - \dfrac{v^2}{c^2}$

$\dfrac{v^2}{c^2} = 1 - \dfrac19 = \dfrac89$

$v = c\sqrt{\dfrac89} = 0{,}943\,c$

$v = 0{,}943\cdot3\cdot10^{8} = 2{,}83\cdot10^{8}\ \text{m/s}$

El observador debe moverse a $2{,}83\cdot10^{8}\ \text{m/s}$, es decir, al $94{,}3\%$ de la velocidad de la luz.