Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Canarias · 2024

La ecuación de una onda armónica que se mueve en una cuerda viene dada por la expresión $y(x,t) = 0{,}03\,\text{sen}(3{,}5t - 2{,}2x)$, donde $x$ e $y$ vienen dadas en metros y $t$ en segundos.

a) ¿En qué sentido se propaga esta onda y cuál es su velocidad?

b) Determine la longitud de onda, la frecuencia y el periodo de esta onda, así como la elongación máxima de cualquier punto de la cuerda.

c) Obtenga la ecuación de la velocidad de cualquier punto de la cuerda, en cualquier instante de tiempo, y la velocidad máxima de cualquier punto.

$\textbf{a) ¿En qué sentido se propaga esta onda y cuál es su velocidad?}$

Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica:

$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)$

$y(x,t) = 0{,}03\,\text{sen}(3{,}5t - 2{,}2x)$

Como los términos en $t$ y en $x$ tienen signos opuestos, la onda se propaga en el sentido positivo del eje $X$. Identificando términos:

$A = 0{,}03\ \text{m}\qquad \omega = 3{,}5\ \text{rad/s}\qquad k = 2{,}2\ \text{rad/m}$

La velocidad de propagación es el cociente entre la frecuencia angular y el número de onda:

$v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{3{,}5}{2{,}2} = 1{,}59\ \text{m/s}$

$\textbf{b) Determine la longitud de onda, la frecuencia y el periodo de esta onda, así como la elongación máxima de cualquier punto de la cuerda.}$

$\lambda = \dfrac{2\pi}{k} = \dfrac{2\pi}{2{,}2} = 2{,}86\ \text{m}$

$f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{3{,}5}{2\pi} = 0{,}557\ \text{Hz}$

$T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{2\pi}{3{,}5} = 1{,}80\ \text{s}$

La elongación máxima de un punto de la cuerda es la amplitud, porque el seno no puede pasar de la unidad:

$y_{\max} = A = 0{,}03\ \text{m} = 3\ \text{cm}$

$\textbf{c) Obtenga la ecuación de la velocidad de cualquier punto de la cuerda, en cualquier instante de tiempo, y la velocidad máxima de cualquier punto.}$

La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo, manteniendo fija la posición del punto:

$v_y(x,t) = \dfrac{\partial y}{\partial t} = 0{,}03\cdot3{,}5\cos(3{,}5t - 2{,}2x)$

$v_y(x,t) = 0{,}105\cos(3{,}5t - 2{,}2x)\ \text{m/s}$

El coseno vale como mucho la unidad, de modo que:

$v_{y,\max} = A\,\omega = 0{,}105\ \text{m/s}$

Esa velocidad máxima se alcanza cada vez que el punto pasa por la posición de equilibrio, y no debe confundirse con la velocidad de propagación de la onda, que vale $1{,}59\ \text{m/s}$.