Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Sabiendo que la masa de una persona es de $75\ \text{kg}$, y que la distancia de la Tierra a la Luna (de centro a centro) es de $3{,}84\cdot10^{5}\ \text{km}$, calcule:

a) El módulo de la fuerza gravitatoria que ejerce la Luna sobre dicha persona cuando ésta se encuentra sobre la superficie terrestre en el punto más cercano a la Luna.

b) La relación entre dicha fuerza y la ejercida por la Tierra sobre la misma persona.

c) Los valores de la velocidad de escape en las superficies de la Tierra y de la Luna.

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$; $M_T = 5{,}98\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $R_T = 6370\ \text{km}$; $M_L = 7{,}35\cdot10^{22}\ \text{kg}$; $R_L = 1740\ \text{km}$.

$\textbf{a) El módulo de la fuerza gravitatoria que ejerce la Luna sobre dicha persona cuando ésta se encuentra sobre la superficie terrestre en el punto más cercano a la Luna.}$










La distancia que interviene en la ley de gravitación es la que separa a la persona del centro de la Luna, no la distancia entre los centros de los dos astros:

$d' = d - R_T$

$d' = 3{,}84\cdot10^{8} - 6{,}37\cdot10^{6} = 3{,}78\cdot10^{8}\ \text{m}$





Aplicando la ley de gravitación universal:

$F_L = G\dfrac{M_L\,m}{d'^2} = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}35\cdot10^{22}\cdot75}{(3{,}78\cdot10^{8})^2}$

$F_L = 2{,}58\cdot10^{-3}\ \text{N}$

$\textbf{b) La relación entre dicha fuerza y la ejercida por la Tierra sobre la misma persona.}$

La fuerza que ejerce la Tierra sobre la persona es simplemente su peso:

$F_T = G\dfrac{M_T\,m}{R_T^2} = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\cdot75}{(6{,}37\cdot10^{6})^2} = 737\ \text{N}$

Y la relación entre ambas:

$\dfrac{F_L}{F_T} = \dfrac{2{,}58\cdot10^{-3}}{737} = 3{,}50\cdot10^{-6}$

La atracción de la Luna sobre una persona es unas $2{,}86\cdot10^{5}$ veces menor que la de la Tierra, es decir, del orden de la millonésima parte del peso.

$\textbf{c) Los valores de la velocidad de escape en las superficies de la Tierra y de la Luna.}$

La velocidad de escape se obtiene imponiendo que la energía mecánica del cuerpo sea nula, de modo que llegue al infinito con velocidad cero:

$\dfrac12\,m\,v_{\text{esc}}^2 - G\dfrac{M\,m}{R} = 0 \;\Rightarrow\; v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{R}}$

Para la Tierra:

$v_{\text{esc},T} = \sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}{6{,}37\cdot10^{6}}} = 1{,}12\cdot10^{4}\ \text{m/s}$

Para la Luna:

$v_{\text{esc},L} = \sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}35\cdot10^{22}}{1{,}74\cdot10^{6}}} = 2{,}37\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

Escapar de la Tierra exige $11{,}2\ \text{km/s}$ y de la Luna solo $2{,}37\ \text{km/s}$, poco más de la quinta parte.