Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Un fragmento de basura espacial de $400\ \text{kg}$ de masa, se mueve directo hacia el centro de la Tierra, en caída libre, bajo la acción de su campo gravitatorio. Su velocidad es de $2300\ \text{m/s}$ cuando se encuentra a $200\ \text{km}$ sobre la superficie terrestre. Calcule:

a) Las energías cinética y potencial que tendrá el objeto a la altura mencionada anteriormente.

b) La altura inicial sobre la superficie de la Tierra desde la que comenzó a caer este objeto, si su velocidad a dicha altura era nula. ¿A qué aceleración estaría sometido ese objeto en ese punto de partida?

c) La velocidad y la aceleración con la que impactará el objeto en la superficie de la Tierra.

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$; $M_T = 5{,}98\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $R_T = 6370\ \text{km}$.

$\textbf{a) Las energías cinética y potencial que tendrá el objeto a la altura mencionada anteriormente.}$










La distancia al centro de la Tierra en ese punto es:

$r_1 = R_T + h = 6370 + 200 = 6570\ \text{km} = 6{,}57\cdot10^{6}\ \text{m}$

La energía cinética es la habitual y la potencial gravitatoria vale $E_p = -G\dfrac{M_T\,m}{r}$.





$E_c = \dfrac12\,m\,v^2 = \dfrac12\cdot400\cdot2300^2 = 1{,}06\cdot10^{9}\ \text{J}$

$E_p = -\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\cdot400}{6{,}57\cdot10^{6}} = -2{,}43\cdot10^{10}\ \text{J}$

La energía mecánica total, que se conservará durante toda la caída, es:

$E = E_c + E_p = 1{,}06\cdot10^{9} - 2{,}43\cdot10^{10} = -2{,}32\cdot10^{10}\ \text{J}$

$\textbf{b) La altura inicial sobre la superficie de la Tierra desde la que comenzó a caer este objeto, si su velocidad a dicha altura era nula. ¿A qué aceleración estaría sometido ese objeto en ese punto de partida?}$

Como el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica en el punto de partida es la misma que se acaba de calcular. Allí la velocidad era nula, luego toda la energía era potencial:

$E = -G\dfrac{M_T\,m}{r_0} \;\Rightarrow\; r_0 = -\dfrac{G\,M_T\,m}{E}$

$r_0 = -\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\cdot400}{-2{,}32\cdot10^{10}} = 6{,}87\cdot10^{6}\ \text{m}$

$h_0 = r_0 - R_T = 6{,}87\cdot10^{6} - 6{,}37\cdot10^{6} = 4{,}99\cdot10^{5}\ \text{m}$

El objeto empezó a caer desde unos $499\ \text{km}$ sobre la superficie.

La aceleración en ese punto es la intensidad del campo gravitatorio allí:

$a_0 = G\dfrac{M_T}{r_0^2} = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}{(6{,}87\cdot10^{6})^2} = 8{,}45\ \text{m/s}^2$

$\textbf{c) La velocidad y la aceleración con la que impactará el objeto en la superficie de la Tierra.}$

Se vuelve a imponer la conservación de la energía mecánica, ahora entre el punto de partida y la superficie:

$E = \dfrac12\,m\,v^2 - G\dfrac{M_T\,m}{R_T}$

$\dfrac12\,m\,v^2 = E + G\dfrac{M_T\,m}{R_T} = -2{,}32\cdot10^{10} + 2{,}50\cdot10^{10} = 1{,}82\cdot10^{9}\ \text{J}$

$v = \sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}82\cdot10^{9}}{400}} = 3{,}02\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

Y la aceleración en la superficie es la gravedad terrestre:

$a = G\dfrac{M_T}{R_T^2} = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}{(6{,}37\cdot10^{6})^2} = 9{,}83\ \text{m/s}^2$

El fragmento llega a la superficie a unos $3{,}02\ \text{km/s}$ con una aceleración de $9{,}83\ \text{m/s}^2$.