Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2024

Dos partículas que poseen masas diferentes tienen asociada una misma longitud de onda de De Broglie.

a) Sabiendo que la energía cinética de una de ellas es el doble que la otra, determine la relación entre sus masas.

Consideremos ahora que una de esas partículas es un protón y que éste se acelera desde el reposo mediante una diferencia de potencial de $1000\ \text{V}$. Determine:

b) La velocidad que adquiere el protón.

c) Su longitud de onda de De Broglie.

Datos: $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; $q_p = 1{,}60\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $m_p = 1{,}67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Sabiendo que la energía cinética de una de ellas es el doble que la otra, determine la relación entre sus masas.}$

La hipótesis de De Broglie asocia a cada partícula una longitud de onda:

$\lambda = \dfrac{h}{p}$

Si las dos partículas tienen la misma longitud de onda, tienen también el mismo momento lineal. Conviene entonces escribir la energía cinética en función del momento lineal:

$E_c = \dfrac12\,m\,v^2 = \dfrac{(m\,v)^2}{2m} = \dfrac{p^2}{2m}$

Como $p$ es común a las dos, la energía cinética es inversamente proporcional a la masa:

$\dfrac{E_{c_1}}{E_{c_2}} = \dfrac{m_2}{m_1}$

Y si la primera tiene el doble de energía cinética que la segunda:

$2 = \dfrac{m_2}{m_1} \;\Rightarrow\; m_2 = 2\,m_1$

La partícula más energética tiene la mitad de masa que la otra.

$\textbf{b) La velocidad que adquiere el protón.}$

El trabajo que realiza el campo eléctrico sobre el protón se invierte íntegramente en energía cinética, porque parte del reposo:

$q\,\Delta V = \dfrac12\,m_p\,v^2 \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\dfrac{2\,q\,\Delta V}{m_p}}$

$v = \sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}60\cdot10^{-19}\cdot1000}{1{,}67\cdot10^{-27}}} = 4{,}38\cdot10^{5}\ \text{m/s}$

$\textbf{c) Su longitud de onda de De Broglie.}$

Con esa velocidad, el momento lineal del protón vale:

$p = m_p\,v = 1{,}67\cdot10^{-27}\cdot4{,}38\cdot10^{5} = 7{,}31\cdot10^{-22}\ \text{kg}\,\text{m/s}$

$\lambda = \dfrac{h}{p} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{7{,}31\cdot10^{-22}} = 9{,}07\cdot10^{-13}\ \text{m}$

La longitud de onda asociada al protón es de $9{,}07\cdot10^{-13}\ \text{m}$, muy inferior a la de los electrones acelerados con la misma diferencia de potencial, porque el protón es casi dos mil veces más masivo.