Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2024

Se hace incidir luz monocromática, procedente de una lámpara láser, sobre una superficie de potasio cuyo trabajo de extracción vale $2{,}22\ \text{eV}$.

a) Si la luz monocromática tiene una longitud de onda de $632\ \text{nm}$ y una intensidad de $3\ \text{mW}\,\text{cm}^{-2}$, ¿se producirá emisión fotoeléctrica? ¿Y si aumentamos la intensidad del láser hasta $6\ \text{mW}\,\text{cm}^{-2}$? Razone sus respuestas.

b) Si la luz monocromática tiene una longitud de onda de $500\ \text{nm}$, justifique que se emiten electrones y calcule la energía cinética máxima de dichos electrones.

c) Si la luz monocromática tiene una longitud de onda de $500\ \text{nm}$, como en el caso anterior, calcule la longitud de onda de De Broglie asociada con los electrones emitidos.

Datos: $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; $m_e = 9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; $1\ \text{J} = 6{,}24\cdot10^{18}\ \text{eV}$.

$\textbf{a) Si la luz monocromática tiene una longitud de onda de } \boldsymbol{632\ \text{nm}}\textbf{ y una intensidad de } \boldsymbol{3\ \text{mW}\,\text{cm}^{-2}}\textbf{, ¿se producirá emisión fotoeléctrica? ¿Y si aumentamos la intensidad del láser hasta } \boldsymbol{6\ \text{mW}\,\text{cm}^{-2}}\textbf{? Razone sus respuestas.}$










Según la explicación de Einstein, cada fotón cede toda su energía a un único electrón, de modo que hay emisión solo si la energía de un fotón supera el trabajo de extracción:

$E_{\text{fotón}} = h\dfrac{c}{\lambda}$





$E_{\text{fotón}} = 6{,}63\cdot10^{-34}\cdot\dfrac{3\cdot10^{8}}{632\cdot10^{-9}} = 3{,}15\cdot10^{-19}\ \text{J}$

$E_{\text{fotón}} = 3{,}15\cdot10^{-19}\cdot6{,}24\cdot10^{18} = 1{,}96\ \text{eV}$

Como $1{,}96\ \text{eV} < 2{,}22\ \text{eV}$, no se produce emisión fotoeléctrica.

Al duplicar la intensidad tampoco la habrá. La intensidad mide cuántos fotones llegan por segundo y por unidad de superficie, no la energía de cada uno; y como cada fotón interacciona con un solo electrón, seguirá sin haber ninguno capaz de arrancarlo. Se duplicaría el número de fotones, pero todos con los mismos $1{,}96\ \text{eV}$.

$\textbf{b) Si la luz monocromática tiene una longitud de onda de } \boldsymbol{500\ \text{nm}}\textbf{, justifique que se emiten electrones y calcule la energía cinética máxima de dichos electrones.}$

Con la nueva longitud de onda, más corta y por tanto más energética:

$E_{\text{fotón}} = 6{,}63\cdot10^{-34}\cdot\dfrac{3\cdot10^{8}}{500\cdot10^{-9}} = 3{,}98\cdot10^{-19}\ \text{J}$

$E_{\text{fotón}} = 3{,}98\cdot10^{-19}\cdot6{,}24\cdot10^{18} = 2{,}48\ \text{eV}$

Ahora sí se supera el trabajo de extracción, $2{,}48\ \text{eV} > 2{,}22\ \text{eV}$, de modo que se emiten electrones. El exceso de energía queda como energía cinética:

$E_{c,\max} = E_{\text{fotón}} - W_0 = 2{,}48 - 2{,}22 = 0{,}26\ \text{eV}$

$E_{c,\max} = \dfrac{0{,}26}{6{,}24\cdot10^{18}} = 4{,}20\cdot10^{-20}\ \text{J}$

$\textbf{c) Si la luz monocromática tiene una longitud de onda de } \boldsymbol{500\ \text{nm}}\textbf{, como en el caso anterior, calcule la longitud de onda de De Broglie asociada con los electrones emitidos.}$

Primero se obtiene la velocidad de los electrones a partir de su energía cinética:

$E_{c,\max} = \dfrac12\,m_e\,v^2 \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\dfrac{2\,E_{c,\max}}{m_e}}$

$v = \sqrt{\dfrac{2\cdot4{,}20\cdot10^{-20}}{9{,}11\cdot10^{-31}}} = 3{,}04\cdot10^{5}\ \text{m/s}$

Y con ella, la longitud de onda que les asocia la hipótesis de De Broglie:

$\lambda = \dfrac{h}{p} = \dfrac{h}{m_e\,v} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{9{,}11\cdot10^{-31}\cdot3{,}04\cdot10^{5}} = 2{,}40\cdot10^{-9}\ \text{m}$

La longitud de onda asociada a los electrones emitidos es de $2{,}40\ \text{nm}$, del orden de las distancias interatómicas, que es lo que permite usar haces de electrones para estudiar la estructura de los cristales.