Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2024

Una carga puntual $q_1 = 1\ \text{C}$ se coloca en el punto $A(0,3)$ de un sistema de ejes cartesianos. Otra carga $q_2 = -1\ \text{C}$ se sitúa en el punto $B(0,-3)$. Si las coordenadas están expresadas en metros:

a) Dibuje las líneas de campo eléctrico de esta distribución de cargas. Calcule además el vector intensidad de campo eléctrico en el punto $C(4,0)$.

b) Calcule el valor de los potenciales electrostáticos en los puntos $C(4,0)$ y $D(-3,8)$.

c) Calcule el trabajo realizado por el campo eléctrico para traer una carga puntual de $2\ \text{C}$ desde el infinito hasta el punto $D$.

Datos: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) Dibuje las líneas de campo eléctrico de esta distribución de cargas. Calcule además el vector intensidad de campo eléctrico en el punto } \boldsymbol{C(4,0)}\textbf{.}$

Dos cargas iguales y de signo contrario forman un dipolo eléctrico. Las líneas de campo salen de la carga positiva y entran en la negativa, y son tanto más densas cuanto mayor es el campo:



Para el campo en $C$ se aplica el principio de superposición, sumando vectorialmente el creado por cada carga:

$\vec E = K\dfrac{q}{r^2}\,\vec u_r$










Las distancias son iguales por simetría:

$r_{AC} = |(4,-3)| = 5\ \text{m}$

$r_{BC} = |(4,3)| = 5\ \text{m}$

y también lo son los módulos:

$E = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{1}{5^2} = 3{,}6\cdot10^{8}\ \text{N/C}$





La carga de $A$ es positiva, así que su campo se aleja de ella, según el unitario $\frac15(4,-3)$:

$\vec E_A = 3{,}6\cdot10^{8}\cdot\dfrac{1}{5}(4,-3) = (2{,}88\cdot10^{8},\ -2{,}16\cdot10^{8})\ \text{N/C}$

La de $B$ es negativa, de modo que su campo apunta hacia ella, según el unitario $\frac15(-4,-3)$:

$\vec E_B = 3{,}6\cdot10^{8}\cdot\dfrac{1}{5}(-4,-3) = (-2{,}88\cdot10^{8},\ -2{,}16\cdot10^{8})\ \text{N/C}$

Sumando, las componentes horizontales se cancelan y solo queda la vertical:

$\vec E_C = \vec E_A + \vec E_B = (0,\ -4{,}32\cdot10^{8})\ \text{N/C}$

El campo en $C$ es paralelo al eje $Y$, apunta en sentido negativo y su módulo es $4{,}32\cdot10^{8}\ \text{N/C}$.

$\textbf{b) Calcule el valor de los potenciales electrostáticos en los puntos } \boldsymbol{C(4,0)}\textbf{ y } \boldsymbol{D(-3,8)}\textbf{.}$

El potencial es escalar y se suman los de las dos cargas, $V = K\sum\dfrac{q_i}{r_i}$.

En $C(4,0)$ las dos distancias valen $5\ \text{m}$ y las cargas son opuestas:

$V_C = 9\cdot10^{9}\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{-1}{5}\right) = 0\ \text{V}$

Todo el plano mediador del dipolo, es decir, el eje $X$ en este caso, es una superficie equipotencial de potencial nulo.

En $D(-3,8)$ las distancias son distintas:

$r_{AD} = |(-3,5)| = \sqrt{34} = 5{,}83\ \text{m}$

$r_{BD} = |(-3,11)| = \sqrt{130} = 11{,}40\ \text{m}$

$V_D = 9\cdot10^{9}\left(\dfrac{1}{5{,}83} - \dfrac{1}{11{,}40}\right) = 7{,}54\cdot10^{8}\ \text{V}$

$\textbf{c) Calcule el trabajo realizado por el campo eléctrico para traer una carga puntual de } \boldsymbol{2\,\text{C}}\textbf{ desde el infinito hasta el punto } \boldsymbol{D}\textbf{.}$

El campo electrostático es conservativo y el trabajo que realiza es la diferencia de energía potencial entre los puntos inicial y final:

$W_{\infty\to D} = q\,(V_\infty - V_D)$

En el infinito el potencial es nulo, de modo que:

$W_{\infty\to D} = 2\cdot(0 - 7{,}54\cdot10^{8}) = -1{,}51\cdot10^{9}\ \text{J}$

El trabajo del campo es negativo: para traer la carga positiva hasta $D$, que está a potencial positivo, hay que empujarla, y son fuerzas externas las que realizan un trabajo de $+1{,}51\cdot10^{9}\ \text{J}$.