Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2025

Sabiendo que la vida media del ${}^{235}\text{U}$ es de $7{,}038\cdot10^{8}$ años, y que se dispone de una muestra de $1\ \text{mg}$ de ${}^{235}\text{U}$, calcule la actividad de esta muestra en el instante inicial y el tiempo necesario para que se desintegre el $95\%$ de la muestra. (1,5 puntos)

Datos: $N_A = 6{,}022\cdot10^{23}\ \text{mol}^{-1}$; $1\ \text{u} = 1{,}6606\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; $m_{\text{U-235}} = 235{,}0439\ \text{u}$.

La vida media es la inversa de la constante de desintegración, $\tau = \dfrac{1}{\lambda}$. Se expresa primero en segundos, tomando el año de 365 días:

$\tau = 7{,}038\cdot10^{8}\cdot365\cdot24\cdot3600 = 2{,}22\cdot10^{16}\ \text{s}$

$\lambda = \dfrac{1}{\tau} = 4{,}51\cdot10^{-17}\ \text{s}^{-1}$

El número de núcleos de la muestra se obtiene de su masa y de la masa de un núcleo de uranio-235:

$m_{\text{núcleo}} = 235{,}0439\cdot1{,}6606\cdot10^{-27} = 3{,}90\cdot10^{-25}\ \text{kg}$

$N_0 = \dfrac{10^{-6}}{3{,}90\cdot10^{-25}} = 2{,}56\cdot10^{18}\ \text{núcleos}$

La actividad inicial es el número de desintegraciones por segundo:

$A_0 = \lambda\,N_0 = 4{,}51\cdot10^{-17}\cdot2{,}56\cdot10^{18} = 115\ \text{Bq}$



Para el tiempo se aplica la ley de desintegración radiactiva. Que se desintegre el $95\%$ de la muestra significa que quedan sin desintegrar el $5\%$ de los núcleos iniciales:

$N = N_0\,e^{-\lambda t} \;\Rightarrow\; 0{,}05\,N_0 = N_0\,e^{-\lambda t}$

$\ln(0{,}05) = -\lambda t \;\Rightarrow\; t = \dfrac{\ln 20}{\lambda}$

$t = \dfrac{2{,}996}{4{,}51\cdot10^{-17}} = 6{,}65\cdot10^{16}\ \text{s}$

$t = \dfrac{6{,}65\cdot10^{16}}{365\cdot24\cdot3600} = 2{,}11\cdot10^{9}\ \text{años}$

La muestra tiene una actividad inicial de $115\ \text{Bq}$ y hacen falta unos $2{,}11\cdot10^{9}$ años, casi la mitad de la edad de la Tierra, para que se desintegre el $95\%$ del uranio-235.