Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2025

Se ilumina una medalla de oro y una de plata de los Juegos Olímpicos de París, con luz de $250\ \text{nm}$ y una intensidad de $10\ \text{W}/\text{m}^2$, que es la radiación ultravioleta más energética del espectro solar que llega a la superficie de la Tierra. El trabajo de extracción (o función trabajo) del oro y la plata es $5{,}10\ \text{eV}$ y $4{,}73\ \text{eV}$, respectivamente. Calcule:

a) La frecuencia y la energía de un fotón de la luz incidente. (1 punto)

b) La velocidad de los electrones emitidos para cada medalla en caso de producirse efecto fotoeléctrico. ¿Cambiarían las conclusiones si se duplicara la intensidad de la radiación incidente? Razone la respuesta. (1,5 puntos)

Datos: $1\ \text{eV} = 1{,}60\cdot10^{-19}\ \text{J}$; $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; $m_e = 9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

$\textbf{a) La frecuencia y la energía de un fotón de la luz incidente. (1 punto)}$










La radiación se propaga en el vacío, así que su frecuencia y su longitud de onda están ligadas por:

$c = \lambda f \;\Rightarrow\; f = \dfrac{c}{\lambda}$

y la energía de cada fotón viene dada por la hipótesis de Planck, $E = h\,f$.





$\lambda = 250\ \text{nm} = 2{,}50\cdot10^{-7}\ \text{m}$

$f = \dfrac{3\cdot10^{8}}{2{,}50\cdot10^{-7}} = 1{,}20\cdot10^{15}\ \text{Hz}$

$E = h\,f = 6{,}63\cdot10^{-34}\cdot1{,}20\cdot10^{15} = 7{,}96\cdot10^{-19}\ \text{J}$

$E = \dfrac{7{,}96\cdot10^{-19}}{1{,}60\cdot10^{-19}} = 4{,}97\ \text{eV}$

$\textbf{b) La velocidad de los electrones emitidos para cada medalla en caso de producirse efecto fotoeléctrico. ¿Cambiarían las conclusiones si se duplicara la intensidad de la radiación incidente? Razone la respuesta. (1,5 puntos)}$

Para que haya emisión, la energía de cada fotón debe superar el trabajo de extracción del metal:

$E = W_0 + E_{c,\max}$

En la medalla de oro, $W_0 = 5{,}10\ \text{eV} > 4{,}97\ \text{eV}$. Los fotones no llegan a la energía mínima necesaria, así que no se arranca ningún electrón del oro por muy prolongada que sea la iluminación.

En la medalla de plata, $W_0 = 4{,}73\ \text{eV} < 4{,}97\ \text{eV}$, de modo que sí se produce efecto fotoeléctrico:

$E_{c,\max} = 4{,}97 - 4{,}73 = 0{,}24\ \text{eV}$

$E_{c,\max} = 0{,}24\cdot1{,}60\cdot10^{-19} = 3{,}88\cdot10^{-20}\ \text{J}$

Y de la definición de energía cinética se despeja la velocidad:

$E_{c,\max} = \dfrac12\,m_e\,v^2 \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\dfrac{2\,E_{c,\max}}{m_e}}$

$v = \sqrt{\dfrac{2\cdot3{,}88\cdot10^{-20}}{9{,}11\cdot10^{-31}}} = 2{,}92\cdot10^{5}\ \text{m/s}$

Las conclusiones no cambiarían al duplicar la intensidad. La intensidad mide cuántos fotones llegan por segundo y unidad de superficie, no la energía de cada uno, y el efecto fotoeléctrico depende de la energía de cada fotón por separado, porque cada fotón interacciona con un solo electrón. Sobre el oro seguiría sin haber emisión, y sobre la plata saldría el doble de electrones, pero con la misma velocidad máxima.