Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Calcule la densidad de Júpiter sabiendo que su radio es $6{,}99\cdot10^{4}\ \text{km}$ y que su satélite Calisto describe una órbita circular de radio $1{,}88\cdot10^{6}\ \text{km}$ en $16{,}9$ días. (1 punto)

Dato: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2$.

La densidad es el cociente entre la masa del planeta y su volumen, así que el problema tiene dos fases: i) obtener la masa de Júpiter a partir del movimiento de Calisto, y ii) dividirla entre el volumen de la esfera.

i) Para el satélite en órbita circular, la fuerza gravitatoria es la centrípeta. Escribiendo la velocidad en función del periodo, $v = \dfrac{2\pi r}{T}$, se llega a la tercera ley de Kepler:

$G\dfrac{M\,m}{r^2} = \dfrac{m\,v^2}{r} \;\Rightarrow\; G\dfrac{M}{r^2} = \dfrac{4\pi^2 r}{T^2} \;\Rightarrow\; M = \dfrac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}$

Se pasan los datos a unidades del Sistema Internacional:

$r = 1{,}88\cdot10^{6}\ \text{km} = 1{,}88\cdot10^{9}\ \text{m}$

$T = 16{,}9\ \text{días}\cdot24\cdot3600 = 1{,}46\cdot10^{6}\ \text{s}$

$M = \dfrac{4\pi^2(1{,}88\cdot10^{9})^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot(1{,}46\cdot10^{6})^2} = 1{,}84\cdot10^{27}\ \text{kg}$

ii) El volumen de Júpiter, suponiéndolo esférico, con $R = 6{,}99\cdot10^{4}\ \text{km} = 6{,}99\cdot10^{7}\ \text{m}$:

$V = \dfrac43\pi R^3 = \dfrac43\pi(6{,}99\cdot10^{7})^3 = 1{,}43\cdot10^{24}\ \text{m}^3$

Por tanto:

$\rho = \dfrac{M}{V} = \dfrac{1{,}84\cdot10^{27}}{1{,}43\cdot10^{24}} = 1{,}29\cdot10^{3}\ \text{kg/m}^3$

La densidad media de Júpiter es de unos $1290\ \text{kg/m}^3$, poco más que la del agua, lo que confirma que se trata de un planeta gaseoso.