Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Un satélite artificial de $900\ \text{kg}$ de masa describe una órbita circular alrededor de un planeta a una altura de $12\,000\ \text{km}$ medida desde su superficie. El radio del planeta es $3{,}01\cdot10^{6}\ \text{m}$ y su masa es $9{,}16\cdot10^{22}\ \text{kg}$. Si el satélite se lanza desde la superficie de dicho planeta, calcule:

a) La velocidad que se debe proporcionar al satélite en la superficie del planeta para situarlo en la órbita. (1 punto)

b) La energía cinética, la energía potencial gravitatoria y la energía total del satélite en la órbita. (1,5 puntos)

Dato: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2$.

$\textbf{a) La velocidad que se debe proporcionar al satélite en la superficie del planeta para situarlo en la órbita. (1 punto)}$










El radio de la órbita se mide desde el centro del planeta, no desde su superficie:

$r = R + h = 3{,}01\cdot10^{6} + 1{,}2\cdot10^{7} = 1{,}501\cdot10^{7}\ \text{m}$

En la órbita la fuerza gravitatoria es la centrípeta, de modo que la velocidad orbital vale:

$G\dfrac{M\,m}{r^2} = \dfrac{m\,v_{\text{orb}}^2}{r} \;\Rightarrow\; v_{\text{orb}} = \sqrt{\dfrac{G\,M}{r}}$





$v_{\text{orb}} = \sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot9{,}16\cdot10^{22}}{1{,}501\cdot10^{7}}} = 638{,}0\ \text{m/s}$

Como el campo gravitatorio es conservativo y no hay más fuerzas, la energía mecánica se conserva entre la superficie y la órbita:

$\dfrac12\,m\,v^2 - G\dfrac{M\,m}{R} = \dfrac12\,m\,v_{\text{orb}}^2 - G\dfrac{M\,m}{r}$

Sustituyendo $v_{\text{orb}}^2 = \dfrac{G\,M}{r}$ y despejando:

$\dfrac12\,v^2 = \dfrac{G\,M}{R} - \dfrac{G\,M}{r} + \dfrac12\dfrac{G\,M}{r} = G\,M\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{2r}\right)$

$v = \sqrt{G\,M\left(\dfrac{2}{R} - \dfrac{1}{r}\right)}$

$v = \sqrt{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot9{,}16\cdot10^{22}\left(\dfrac{2}{3{,}01\cdot10^{6}} - \dfrac{1}{1{,}501\cdot10^{7}}\right)}$

$v = 1{,}91\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

Hay que lanzar el satélite desde la superficie con una velocidad de $1{,}91\ \text{km/s}$.

$\textbf{b) La energía cinética, la energía potencial gravitatoria y la energía total del satélite en la órbita. (1,5 puntos)}$

Con la velocidad orbital ya calculada, la energía cinética es:

$E_c = \dfrac12\,m\,v_{\text{orb}}^2 = \dfrac12\cdot900\cdot638{,}0^2 = 1{,}83\cdot10^{8}\ \text{J}$

La energía potencial gravitatoria a esa distancia:

$E_p = -G\dfrac{M\,m}{r} = -\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot9{,}16\cdot10^{22}\cdot900}{1{,}501\cdot10^{7}} = -3{,}66\cdot10^{8}\ \text{J}$

Y la energía total es la suma de ambas:

$E = E_c + E_p = 1{,}83\cdot10^{8} - 3{,}66\cdot10^{8} = -1{,}83\cdot10^{8}\ \text{J}$

La energía total resulta ser la mitad de la potencial y negativa, como corresponde a un satélite ligado al planeta en una órbita circular.