Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2025

Suponga dos partículas subatómicas $A$ y $B$ que poseen la misma energía cinética. Si la masa de la partícula $B$ es 2000 veces mayor que la de la partícula $A$, determine la relación entre las longitudes de onda de De Broglie de ambas partículas. (1,25 puntos)

Según la hipótesis de De Broglie, a toda partícula en movimiento le corresponde una onda de longitud:

$\lambda = \dfrac{h}{p} = \dfrac{h}{m\,v}$

Como el dato que comparten las dos partículas es la energía cinética, conviene escribir el momento lineal en función de ella:

$E_c = \dfrac12\,m\,v^2 = \dfrac{p^2}{2m} \;\Rightarrow\; p = \sqrt{2\,m\,E_c}$

Sustituyendo en la relación de De Broglie:

$\lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2\,m\,E_c}}$

Se escribe esta expresión para cada partícula y se divide una entre otra. La constante de Planck y la energía cinética se simplifican por ser comunes:

$\dfrac{\lambda_A}{\lambda_B} = \dfrac{\sqrt{2\,m_B\,E_c}}{\sqrt{2\,m_A\,E_c}} = \sqrt{\dfrac{m_B}{m_A}}$

Y como $m_B = 2000\,m_A$:

$\dfrac{\lambda_A}{\lambda_B} = \sqrt{2000} = 44{,}7$

La longitud de onda de la partícula $A$, que es la más ligera, es $44{,}7$ veces mayor que la de la partícula $B$. A igualdad de energía cinética, la longitud de onda asociada es tanto menor cuanto mayor es la masa.