Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

En el punto $A(2,0)$ se sitúa una masa de $2\ \text{kg}$ y en el punto $B(5,0)$ se coloca otra de $4\ \text{kg}$. Si las longitudes se miden en metros:

a) Calcule el potencial del campo gravitatorio en el punto $C(2,4)$. (1 punto)

b) Si se sitúa una masa de $1\ \text{kg}$ en el origen de coordenadas, calcule el vector fuerza resultante que actúa sobre ella y el trabajo realizado para llevar esa masa desde el origen de coordenadas hasta el infinito. (1,5 puntos)

Dato: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2$.

$\textbf{a) Calcule el potencial del campo gravitatorio en el punto } \boldsymbol{C(2,4)}\textbf{. (1 punto)}$

El potencial gravitatorio es una magnitud escalar, así que basta sumar el creado por cada masa sin preocuparse de direcciones:

$V = -G\dfrac{M}{r}$










Las distancias desde cada masa hasta el punto $C(2,4)$ son:

$r_{AC} = |\overrightarrow{AC}| = |(0,4)| = 4\ \text{m}$

$r_{BC} = |\overrightarrow{BC}| = |(-3,4)| = \sqrt{9+16} = 5\ \text{m}$





Por el principio de superposición:

$V_C = -G\dfrac{m_A}{r_{AC}} - G\dfrac{m_B}{r_{BC}} = -G\left(\dfrac{2}{4} + \dfrac{4}{5}\right)$

$V_C = -6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}3 = -8{,}67\cdot10^{-11}\ \text{J/kg}$

El potencial gravitatorio en $C$ es $-8{,}67\cdot10^{-11}\ \text{J/kg}$.

$\textbf{b) Si se sitúa una masa de } \boldsymbol{1\,\text{kg}}\textbf{ en el origen de coordenadas, calcule el vector fuerza resultante que actúa sobre ella y el trabajo realizado para llevar esa masa desde el origen de coordenadas hasta el infinito. (1,5 puntos)}$

Las dos masas están sobre el eje $X$ y el origen también, de modo que las dos fuerzas son colineales y apuntan en el sentido positivo del eje, hacia las masas que las crean:

$\vec F = -G\dfrac{M\,m}{r^2}\,\vec u_r$

Las distancias desde el origen son:

$r_{AO} = 2\ \text{m}\qquad r_{BO} = 5\ \text{m}$

Fuerza que ejerce la masa de $A$:

$\vec F_A = G\dfrac{m_A\,m}{r_{AO}^2}\,\vec\imath = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{2\cdot1}{2^2}\,\vec\imath = 3{,}34\cdot10^{-11}\,\vec\imath\ \text{N}$

Fuerza que ejerce la masa de $B$:

$\vec F_B = G\dfrac{m_B\,m}{r_{BO}^2}\,\vec\imath = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{4\cdot1}{5^2}\,\vec\imath = 1{,}07\cdot10^{-11}\,\vec\imath\ \text{N}$

Aplicando el principio de superposición:

$\vec F_O = \vec F_A + \vec F_B = 4{,}40\cdot10^{-11}\,\vec\imath\ \text{N}$

La fuerza resultante sobre la masa de $1\ \text{kg}$ tiene la dirección del eje $X$, sentido positivo, y módulo $4{,}40\cdot10^{-11}\ \text{N}$.

Para el trabajo se usa que el campo gravitatorio es conservativo, de modo que el trabajo que realiza el campo es la variación de energía potencial cambiada de signo. El potencial en el origen es:

$V_O = -G\left(\dfrac{2}{2} + \dfrac{4}{5}\right) = -6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}8 = -1{,}20\cdot10^{-10}\ \text{J/kg}$

En el infinito el potencial es nulo, $V_\infty = 0$, luego:

$W_{\text{campo}} = m\,(V_O - V_\infty) = 1\cdot(-1{,}20\cdot10^{-10}) = -1{,}20\cdot10^{-10}\ \text{J}$

El trabajo del campo es negativo porque el desplazamiento se hace en contra de la fuerza gravitatoria. El trabajo que hay que realizar desde fuera para llevar la masa hasta el infinito es el mismo con el signo cambiado:

$W_{\text{ext}} = +1{,}20\cdot10^{-10}\ \text{J}$