Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Demostrar que la energía total de un satélite que describe una órbita circular es igual a la mitad de su energía potencial. (1,5 puntos)

Se trata de demostrar que, para una órbita circular, la energía mecánica del satélite es la mitad de su energía potencial. El razonamiento tiene dos fases: i) se obtiene la energía cinética a partir de la segunda ley de Newton, y ii) se suma con la potencial.










i) La única fuerza que actúa sobre el satélite es la gravitatoria, y como el movimiento es circular uniforme, esa fuerza es la centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$F_g = m\,a_c \;\Rightarrow\; G\dfrac{M\,m}{r^2} = \dfrac{m\,v^2}{r}$





De donde:

$m\,v^2 = G\dfrac{M\,m}{r}$

Y por tanto la energía cinética del satélite en la órbita vale:

$E_c = \dfrac12\,m\,v^2 = \dfrac12\,G\dfrac{M\,m}{r}$

ii) La energía potencial gravitatoria del satélite a una distancia $r$ del centro del planeta es:

$E_p = -G\dfrac{M\,m}{r}$

Comparando las dos expresiones se ve que la energía cinética es la mitad de la potencial cambiada de signo:

$E_c = -\dfrac12\,E_p$

Sumando ambas se obtiene la energía total:

$E = E_c + E_p = -\dfrac12\,E_p + E_p = \dfrac12\,E_p$

$E = -\dfrac12\,G\dfrac{M\,m}{r}$

Queda demostrado que la energía total de un satélite en órbita circular es igual a la mitad de su energía potencial. El signo negativo indica que el satélite está ligado al planeta: haría falta comunicarle energía para alejarlo indefinidamente.