Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En un hotel hay 400 turistas de españoles, alemanes e ingleses. El número de alemanes es el 120 % del número de ingleses y estos últimos, sumados a los españoles, superan en 40 al número de alemanes.

a) Plantear el correspondiente sistema.

b) ¿Cuántos españoles, alemanes e ingleses hay en el hotel?

$\textbf{a) Plantear el correspondiente sistema.}$

Llamamos $x$ al número de turistas españoles, $y$ al de alemanes y $z$ al de ingleses.

En el hotel hay 400 turistas $\Rightarrow$ $x+y+z=400$.

El número de alemanes es el 120 % del de ingleses $\Rightarrow$ $y=1{,}2z$.

Los ingleses sumados a los españoles superan en 40 al número de alemanes $\Rightarrow$ $z+x=y+40$.

$\begin{cases} x+y+z=400 \\ y-1{,}2z=0 \\ x-y+z=40 \end{cases}$

$\textbf{b) ¿Cuántos españoles, alemanes e ingleses hay en el hotel?}$

De la tercera ecuación despejamos $x$ y sustituimos $y=1{,}2z$.

$x=y+40-z=1{,}2z+40-z=0{,}2z+40$

Llevamos las dos expresiones a la primera ecuación.

$(0{,}2z+40)+1{,}2z+z=400$

$2{,}4z+40=400 \Rightarrow 2{,}4z=360 \Rightarrow z=150$

$y=1{,}2\cdot 150=180 \qquad x=0{,}2\cdot 150+40=70$

Comprobamos: $70+180+150=400$ y, en efecto, $150+70=220=180+40$.

En el hotel hay $70$ españoles, $180$ alemanes y $150$ ingleses.