Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Durante los últimos 10 años el déficit en las cuentas de una institución, en millones de euros, viene dado por la función:

$D(t) = \begin{cases} -\dfrac{(t - 2)^2}{4} + 5, & t \in [0,4] \\[6pt] \dfrac{(t - 7)^2}{9} + 3, & t \in \left]4,10\right] \end{cases}$

siendo $t$ el tiempo en años. Justificando la respuesta:

a) ¿Es continua $D(t)$? Representarla gráficamente.

b) ¿Es $D(t)$ derivable?

c) ¿Entre qué valores varía $D(t)$? ¿Cuáles son sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento? ¿Cuándo alcanza los valores máximos y mínimos absolutos?

$\textbf{a) ¿Es continua } \boldsymbol{D(t)}\textbf{? Representarla gráficamente.}$

Los dos trozos son funciones polinómicas, continuas y derivables en todo su dominio, de modo que solo hay que estudiar el empalme $t=4$.

$\lim_{t\to 4^{-}}D(t)=-\dfrac{(4-2)^{2}}{4}+5=-\dfrac{4}{4}+5=4$

$\lim_{t\to 4^{+}}D(t)=\dfrac{(4-7)^{2}}{9}+3=\dfrac{9}{9}+3=4$

Como $D(4)=4$ y los dos límites laterales valen $4$, la función es continua en todo el intervalo $[0,10]$.



$\textbf{b) ¿Es } \boldsymbol{D(t)}\textbf{ derivable?}$

Derivamos cada trozo y comparamos las derivadas laterales en $t=4$.

$D'(t)=\begin{cases} -\dfrac{t-2}{2}, & 0\leq t<4 \\[8pt] \dfrac{2(t-7)}{9}, & 4<t\leq 10 \end{cases}$

$D'(4^{-})=-\dfrac{2}{2}=-1 \qquad D'(4^{+})=\dfrac{2\cdot(-3)}{9}=-\dfrac{2}{3}$

Las derivadas laterales son distintas, de modo que $D(t)$ no es derivable en $t=4$; sí lo es en el resto del intervalo, donde la gráfica presenta un punto anguloso en ese año.

$\textbf{c) ¿Entre qué valores varía } \boldsymbol{D(t)}\textbf{? ¿Cuáles son sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento? ¿Cuándo alcanza los valores máximos y mínimos absolutos?}$

Buscamos los puntos críticos de cada trozo.

$-\dfrac{t-2}{2}=0 \Rightarrow t=2 \qquad \dfrac{2(t-7)}{9}=0 \Rightarrow t=7$

Estudiamos el signo de la derivada.

Si $t=1$, $D'(1)=\dfrac{1}{2}>0$: el déficit crece.
Si $t=3$, $D'(3)=-\dfrac{1}{2}<0$: el déficit decrece.
Si $t=5$, $D'(5)=\dfrac{2\cdot(-2)}{9}<0$: el déficit decrece.
Si $t=9$, $D'(9)=\dfrac{2\cdot 2}{9}>0$: el déficit crece.



El déficit crece en $(0,2)$ y en $(7,10)$, y decrece en $(2,7)$; en $t=4$ no hay cambio de tendencia, solo el punto anguloso.

Como la función es continua en un intervalo cerrado, los extremos absolutos están entre los puntos críticos y los extremos del intervalo.

$D(0)=-\dfrac{4}{4}+5=4 \qquad D(2)=5$

$D(7)=3 \qquad D(10)=\dfrac{9}{9}+3=4$

El déficit varía entre $3$ y $5$ millones de euros: alcanza su máximo absoluto de $5$ millones a los 2 años y su mínimo absoluto de $3$ millones a los 7 años.