Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Se toma una muestra de 400 estudiantes al azar y se les pregunta por su gasto anual en libros y material escolar, obteniéndose una cantidad media de 132 €. Se sabe, además, que la desviación típica de este gasto en la población estudiantil es de 24 €.

a) Calcular un intervalo de confianza al 90 % para la media poblacional de este gasto.

b) Calcular el tamaño muestral necesario para que el correspondiente intervalo de confianza del apartado anterior fuese $[128{,}71,\ 135{,}29]$.

$\textbf{a) Calcular un intervalo de confianza al 90 \% para la media poblacional de este gasto.}$

La muestra tiene $n=400$ estudiantes, con $\bar{x}=132$ € y $\sigma=24$ €.

Para una confianza del 90 % es $\alpha=0{,}1$ y el valor que deja a su izquierda $0{,}95$ es $z_{\alpha/2}=1{,}645$.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}645\cdot\dfrac{24}{\sqrt{400}} =1{,}645\cdot 1{,}2=1{,}974$

$IC_{90\%}(\mu)=(132-1{,}974,\ 132+1{,}974)=(130{,}026,\ 133{,}974)$

Con una confianza del 90 %, el gasto medio anual en libros y material escolar está entre $130{,}026$ y $133{,}974$ euros.



$\textbf{b) Calcular el tamaño muestral necesario para que el correspondiente intervalo de confianza del apartado anterior fuese } \boldsymbol{[128{,}71,\ 135{,}29]}\textbf{.}$

La semiamplitud del intervalo que se pide es el nuevo error de estimación.

$E=\dfrac{135{,}29-128{,}71}{2}=3{,}29$

Se despeja el tamaño muestral con el mismo nivel de confianza, $z_{\alpha/2}=1{,}645$.

$n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{E}\right)^{2} =\left(\dfrac{1{,}645\cdot 24}{3{,}29}\right)^{2} =\left(\dfrac{39{,}48}{3{,}29}\right)^{2}=12^{2}=144$

El tamaño muestral necesario es de $144$ estudiantes. Al reducir la muestra, el intervalo resulta más ancho que el del apartado anterior.