Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un comerciante quiere comprar a un mayorista de moda gabardinas de dos tipos: de paño a 180 € y de piel a 300 € la unidad, respectivamente. El comerciante dispone de 5400 € y no precisa más de 20 unidades.

a) Representar la región factible y los vértices.

b) Si en la venta posterior obtiene un beneficio de 99 € por la venta de cada gabardina de paño y 156 € por la venta de cada gabardina de piel, calcular el número de gabardinas que ha de adquirir de cada tipo para obtener el beneficio máximo.

$\textbf{a) Representar la región factible y los vértices.}$

Llamamos $x$ al número de gabardinas de paño e $y$ al número de gabardinas de piel que compra el comerciante.

Las restricciones son:

Dispone de 5400 euros $\Rightarrow$ $180x+300y\leq 5400 \Rightarrow 3x+5y\leq 90$.

No precisa más de 20 unidades $\Rightarrow$ $x+y\leq 20$.

El número de gabardinas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\geq 0$, $y\geq 0$.

$\begin{cases} 3x+5y\leq 90 \\ x+y\leq 20 \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

Dibujamos las rectas frontera con sus tablas de valores.

$x$	$y=\dfrac{90-3x}{5}$	$y=20-x$ $0$	$18$	$20$ $5$	$15$	$15$

El único vértice que exige resolver un sistema es el corte de las dos rectas.

$\begin{cases} 3x+5y=90 \\ x+y=20 \end{cases} \Rightarrow x=20-y$

$3(20-y)+5y=90 \Rightarrow 60+2y=90 \Rightarrow y=15 \Rightarrow x=5$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $O(0,0)$, $A(0,18)$, $B(5,15)$ y $C(20,0)$.

$\textbf{b) Si en la venta posterior obtiene un beneficio de 99 € por la venta de cada gabardina de paño y 156 € por la venta de cada gabardina de piel, calcular el número de gabardinas que ha de adquirir de cada tipo para obtener el beneficio máximo.}$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio:

$B(x,y)=99x+156y$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, evaluamos el beneficio en los vértices.

$B(0,0)=0\ \text{€}$

$B(0,18)=156\cdot 18=2808\ \text{€}$

$B(5,15)=99\cdot 5+156\cdot 15=495+2340=2835\ \text{€}$

$B(20,0)=99\cdot 20=1980\ \text{€}$

El comerciante ha de adquirir $5$ gabardinas de paño y $15$ de piel, con lo que el beneficio máximo es de $2835$ euros.