Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Un medicamento cura una determinada enfermedad en el 80 % de los casos.

a) Si se administra a 10 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que, a lo sumo, 9 no se curen?

b) Si se administra a 100 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que el número de curados esté entre 76 y 88?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que, en una muestra de 64 pacientes a los que se ha administrado el medicamento, la proporción de no curados sea menor o igual que 0,15?

$\textbf{a) Si se administra a 10 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que, a lo sumo, 9 no se curen?}$

Sea $Y$ el número de pacientes que no se curan. Como el medicamento cura en el 80 % de los casos, cada paciente no se cura con probabilidad $0{,}2$ e independientemente de los demás, de modo que $Y\sim B(10;0{,}2)$.

Que a lo sumo 9 no se curen es el suceso contrario de que no se cure ninguno de los diez, es decir, de que $Y=10$.

$P(Y\leq 9)=1-P(Y=10)=1-\binom{10}{10}\cdot 0{,}2^{10}\cdot 0{,}8^{0}$

$P(Y\leq 9)=1-0{,}2^{10}=1-0{,}0000001=0{,}9999999$

La probabilidad de que a lo sumo 9 pacientes no se curen es prácticamente $1$.

$\textbf{b) Si se administra a 100 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que el número de curados esté entre 76 y 88?}$

Sea $X$ el número de pacientes curados, con $X\sim B(100;0{,}8)$.

$\mu=100\cdot 0{,}8=80 \qquad \sigma=\sqrt{100\cdot 0{,}8\cdot 0{,}2}=\sqrt{16}=4$

Como $n\,p=80>5$ y $n\,q=20>5$, aproximamos por la normal $X'\sim N(80,4)$ con corrección de continuidad.

$P(76\leq X\leq 88)\approx P(75{,}5\leq X'\leq 88{,}5)$

$=P\left(\dfrac{75{,}5-80}{4}\leq Z\leq\dfrac{88{,}5-80}{4}\right) =P(-1{,}13\leq Z\leq 2{,}13)$

$=P(Z\leq 2{,}13)-\big[1-P(Z\leq 1{,}13)\big] =0{,}9834-(1-0{,}8708)$

$=0{,}9834-0{,}1292=0{,}8542$

La probabilidad de que el número de curados esté entre 76 y 88 es $0{,}8542$.



$\textbf{c) ¿Cuál es la probabilidad de que, en una muestra de 64 pacientes a los que se ha administrado el medicamento, la proporción de no curados sea menor o igual que 0,15?}$

La proporción de no curados en una muestra de tamaño $n=64$ se distribuye

$\hat{p}\sim N\left(p,\sqrt{\dfrac{p\,q}{n}}\right) =N\left(0{,}2,\sqrt{\dfrac{0{,}2\cdot 0{,}8}{64}}\right)=N(0{,}2\,;\,0{,}05)$

$P(\hat{p}\leq 0{,}15)=P\left(Z\leq\dfrac{0{,}15-0{,}2}{0{,}05}\right)=P(Z\leq -1)$

Por la simetría de la campana,

$P(Z\leq -1)=1-P(Z\leq 1)=1-0{,}8413=0{,}1587$

La probabilidad de que la proporción de no curados sea menor o igual que 0,15 es $0{,}1587$.