Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

La empresa XYPERIA ha encargado la construcción de su logotipo corporativo en madera y cobre, tomando como modelo la figura adjunta, que diseñó una empresa contratada para ello. El círculo, que será de madera, está centrado en el punto (0,0) y tiene 2 metros de radio. Las funciones que delimitan el área sombreada son:

$f(x) = x^3 - x \qquad g(x) = x$



a) La zona sombreada se va a recubrir de cobre, ¿qué superficie tiene esta zona?

b) Teniendo en cuenta que el m² de plancha de cobre se cobra a 60 € y no se desperdicia nada, que el coste de mano de obra es el 30 % de lo que cuesta el cobre, y que el círculo de madera, el transporte y el montaje in situ tienen un coste de fijo 270 €, ¿cuánto deberá pagar XYPERIA por la construcción e instalación de su logotipo corporativo?

$\textbf{a) La zona sombreada se va a recubrir de cobre, ¿qué superficie tiene esta zona?}$

La zona sombreada está limitada por la cúbica $f(x)=x^{3}-x$ y la recta $g(x)=x$, así que empezamos por sus puntos de corte.

$x^{3}-x=x \Rightarrow x^{3}-2x=0 \Rightarrow x(x^{2}-2)=0$

$\begin{cases} x=0 \\ x=-\sqrt{2} \\ x=\sqrt{2} \end{cases}$

Las dos funciones son impares, de modo que la figura es simétrica respecto del origen y los dos lóbulos tienen la misma área. Basta calcular el de la derecha y duplicarlo.

Entre $x=0$ y $x=\sqrt{2}$ la recta queda por encima de la cúbica, pues por ejemplo en $x=1$ es $g(1)=1>f(1)=0$.

$A=2\int_{0}^{\sqrt{2}}\big[x-(x^{3}-x)\big]dx =2\int_{0}^{\sqrt{2}}\left(2x-x^{3}\right)dx$

$A=2\left[x^{2}-\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{\sqrt{2}} =2\left(2-\dfrac{4}{4}\right)=2\cdot 1=2$

La zona sombreada tiene una superficie de $2\ \text{m}^{2}$.

$\textbf{b) Teniendo en cuenta que el m² de plancha de cobre se cobra a 60 € y no se desperdicia nada, que el coste de mano de obra es el 30 \% de lo que cuesta el cobre, y que el círculo de madera, el transporte y el montaje in situ tienen un coste de fijo 270 €, ¿cuánto deberá pagar XYPERIA por la construcción e instalación de su logotipo corporativo?}$

Valoramos cada partida por separado.

$C_{\text{cobre}}=60\cdot 2=120\ \text{€}$

$C_{\text{mano de obra}}=0{,}30\cdot 120=36\ \text{€}$

$C_{\text{fijo}}=270\ \text{€}$

$C=120+36+270=426\ \text{€}$

XYPERIA deberá pagar $426$ euros por la construcción e instalación de su logotipo.