Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

El peso de las piñas de plátanos de una cooperativa de una determinada zona, se distribuye normalmente con una desviación típica de 8 kg.

a) Determina el tamaño de la muestra si se desea que el intervalo de confianza al 92 % para el peso medio de las piñas de plátanos tenga una amplitud de 4 kg.

b) Si el peso medio de las piñas de plátanos fuera de 40 kg, ¿cuál sería la probabilidad de que el peso medio de una muestra de 81 piñas estuviese entre 38 y 41 kg?

$\textbf{a) Determina el tamaño de la muestra si se desea que el intervalo de confianza al 92 \% para el peso medio de las piñas de plátanos tenga una amplitud de 4 kg.}$

La amplitud del intervalo es el doble del error de estimación, de modo que

$E=\dfrac{4}{2}=2\ \text{kg}$

Para una confianza del 92 % es $\alpha=0{,}08$ y el valor que deja a su izquierda $0{,}96$ es $z_{\alpha/2}=1{,}75$.

$n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{E}\right)^{2} =\left(\dfrac{1{,}75\cdot 8}{2}\right)^{2}=7^{2}=49$

La muestra debe ser de $49$ piñas de plátanos.

$\textbf{b) Si el peso medio de las piñas de plátanos fuera de 40 kg, ¿cuál sería la probabilidad de que el peso medio de una muestra de 81 piñas estuviese entre 38 y 41 kg?}$

Para una muestra de tamaño $n=81$ de una población normal,

$\bar{X}\sim N\left(40,\dfrac{8}{\sqrt{81}}\right)=N(40\,;\,0{,}889)$

$P(38<\bar{X}<41) =P\left(\dfrac{38-40}{0{,}889}<Z<\dfrac{41-40}{0{,}889}\right) =P(-2{,}25<Z<1{,}13)$

$=P(Z<1{,}13)-P(Z<-2{,}25)=P(Z<1{,}13)-\big[1-P(Z<2{,}25)\big]$

$=0{,}8708-(1-0{,}9878)=0{,}8708-0{,}0122=0{,}8586$

La probabilidad de que el peso medio de las 81 piñas esté entre 38 y 41 kg es $0{,}8586$.