Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

En un Instituto de Enseñanza Secundaria se ha seleccionado una muestra aleatoria de 48 estudiantes a quienes se les preguntó si utilizaban la cafetería del instituto. Contestaron negativamente un total de 12 estudiantes.

a) Estima, con una confianza del 94 %, en qué intervalo se encuentra la proporción de alumnos que utilizan la cafetería del instituto.

b) ¿Qué tamaño muestral hubiese sido necesario tomar para estimar dicha proporción con un error menor del 4 % y una confianza del 90 %?

$\textbf{a) Estima, con una confianza del 94 \%, en qué intervalo se encuentra la proporción de alumnos que utilizan la cafetería del instituto.}$

De los 48 estudiantes de la muestra, 12 contestaron que no usaban la cafetería, de modo que la usan $48-12=36$.

$\hat{p}=\dfrac{36}{48}=0{,}75 \qquad \hat{q}=0{,}25$

Para una confianza del 94 % es $\alpha=0{,}06$ y el valor que deja a su izquierda $0{,}97$ es $z_{\alpha/2}=1{,}88$.

$E=1{,}88\sqrt{\dfrac{0{,}75\cdot 0{,}25}{48}}=1{,}88\cdot 0{,}0625=0{,}1175$

$IC_{94\%}(p)=(0{,}75-0{,}1175,\ 0{,}75+0{,}1175)=(0{,}6325,\ 0{,}8675)$

Con una confianza del 94 %, la proporción de alumnos que utilizan la cafetería está entre $0{,}6325$ y $0{,}8675$.



$\textbf{b) ¿Qué tamaño muestral hubiese sido necesario tomar para estimar dicha proporción con un error menor del 4 \% y una confianza del 90 \%?}$

Un error menor del 4 % es $E=0{,}04$, y para una confianza del 90 % es $z_{\alpha/2}=1{,}645$.

$n=\dfrac{z_{\alpha/2}^{\,2}\cdot\hat{p}\,\hat{q}}{E^{2}} =\dfrac{1{,}645^{2}\cdot 0{,}75\cdot 0{,}25}{0{,}04^{2}}$

$n=\dfrac{2{,}706\cdot 0{,}1875}{0{,}0016}=\dfrac{0{,}5074}{0{,}0016}=317{,}11$

Se toma el entero inmediatamente superior: habría hecho falta una muestra de $318$ estudiantes.