Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En un puesto del mercado se preparan dos tipos de cajas de frutas y verduras para repartir a domicilio. Cada caja del tipo A (caja pequeña) lleva 3 kg de fruta y 3 kg de verdura. Cada caja del tipo B (caja grande) lleva 5 kg de fruta y 8 kg de verdura. Cada día hay que cubrir una demanda fija de al menos 20 cajas de tipo A. Las cajas tipo A se venden a 10 € cada una y las cajas tipo B a 18 € cada una. El puesto tiene 195 kg de fruta y 240 kg de verduras disponibles diariamente todas las mañanas. Se desea determinar el número de cajas de cada tipo que se han de preparar diariamente para maximizar los ingresos.

a) Plantear el problema y representar la región factible.

b) ¿Cuántas cajas de cada tipo deben prepararse cada día para maximizar los ingresos? ¿Cuáles son los ingresos máximos?

$\textbf{a) Plantear el problema y representar la región factible.}$

Llamamos $x$ al número de cajas del tipo A e $y$ al número de cajas del tipo B que se preparan cada día.

Ordenamos los datos en una tabla.

$$	$\text{Fruta (kg)}$	$\text{Verdura (kg)}$	$\text{Ingresos (€)}$ $\text{Tipo A } (x)$	$3x$	$3x$	$10x$ $\text{Tipo B } (y)$	$5y$	$8y$	$18y$ $\text{Totales}$	$3x+5y$	$3x+8y$	$10x+18y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, son los ingresos:

$I(x,y)=10x+18y$

Las restricciones son:

Se dispone de 195 kg de fruta $\Rightarrow$ $3x+5y\leq 195$.

Se dispone de 240 kg de verdura $\Rightarrow$ $3x+8y\leq 240$.

Hay que cubrir una demanda de al menos 20 cajas del tipo A $\Rightarrow$ $x\geq 20$.

El número de cajas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $y\geq 0$.

$\text{Maximizar } I(x,y)=10x+18y \quad \text{sujeto a} \quad \begin{cases} 3x+5y\leq 195 \\ 3x+8y\leq 240 \\ x\geq 20;\ y\geq 0 \end{cases}$

Dibujamos las rectas frontera con sus tablas de valores.

$x$	$y=\dfrac{195-3x}{5}$	$y=\dfrac{240-3x}{8}$ $20$	$27$	$22{,}5$ $40$	$15$	$15$

Los vértices se obtienen cortando las rectas dos a dos.

Vértice $A$: $x=20$ con $y=0$ $\Rightarrow A(20,0)$.

Vértice $B$:

$\begin{cases} x=20 \\ 3x+8y=240 \end{cases} \Rightarrow 8y=180 \Rightarrow y=22{,}5 \Rightarrow B(20;22{,}5)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} 3x+5y=195 \\ 3x+8y=240 \end{cases} \Rightarrow 3y=45 \Rightarrow y=15 \Rightarrow 3x=120 \Rightarrow x=40$

Vértice $D$: $3x+5y=195$ con $y=0$ $\Rightarrow x=65 \Rightarrow D(65,0)$.

La región factible es el cuadrilátero de vértices $A(20,0)$, $B(20;22{,}5)$, $C(40,15)$ y $D(65,0)$.

$\textbf{b) ¿Cuántas cajas de cada tipo deben prepararse cada día para maximizar los ingresos? ¿Cuáles son los ingresos máximos?}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, evaluamos los ingresos en los vértices.

$I(20,0)=10\cdot 20=200\ \text{€}$

$I(20;22{,}5)=10\cdot 20+18\cdot 22{,}5=200+405=605\ \text{€}$

$I(40,15)=10\cdot 40+18\cdot 15=400+270=670\ \text{€}$

$I(65,0)=10\cdot 65=650\ \text{€}$

Deben prepararse $40$ cajas del tipo A y $15$ del tipo B, con lo que los ingresos máximos son de $670$ euros diarios.