Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Una empresa que ofrece servicios en internet tiene, en el día de más actividad del año, una demanda de datos que viene dada por la función:

$D(t) = \begin{cases} \dfrac{1}{10}t^2 - \dfrac{6}{5}t + 4 & 0 \le t \le 8 \\[6pt] \dfrac{-36}{t} + 6 & 8 < t \le 24 \end{cases}$

donde $t$ es la hora del día (de 0 a 24) y $D(t)$ es la demanda de datos a esa hora expresada en cientos de Gigabits por segundo.

a) Representa gráficamente la función. ¿Hubo una demanda continua de datos a lo largo del día? En caso negativo, ¿a qué hora hubo un salto instantáneo de la demanda y cuál fue la magnitud del salto?

b) Calcula los valores de las demandas mínima y máxima absolutas y cuando se alcanzaron.

$\textbf{a) Representa gráficamente la función. ¿Hubo una demanda continua de datos a lo largo del día? En caso negativo, ¿a qué hora hubo un salto instantáneo de la demanda y cuál fue la magnitud del salto?}$

Los dos trozos son continuos en su intervalo: el primero es polinómico y el segundo una función racional cuyo denominador solo se anula en $t=0$, valor que no pertenece a $(8,24]$. Solo hay que estudiar el empalme $t=8$.

$\lim_{t\to 8^{-}}D(t)=\dfrac{64}{10}-\dfrac{6}{5}\cdot 8+4 =6{,}4-9{,}6+4=0{,}8$

$\lim_{t\to 8^{+}}D(t)=-\dfrac{36}{8}+6=-4{,}5+6=1{,}5$

Los límites laterales son distintos, así que la demanda no fue continua a lo largo del día: hubo una discontinuidad de salto finito a las 8 horas.

$\text{salto}=1{,}5-0{,}8=0{,}7$

El salto fue de $0{,}7$ cientos de Gigabits por segundo, es decir, de $70$ Gb/s, y se produjo a las $t=8$ horas.



$\textbf{b) Calcula los valores de las demandas mínima y máxima absolutas y cuando se alcanzaron.}$

Derivamos cada trozo y buscamos los puntos críticos.

$D'(t)=\begin{cases} \dfrac{t}{5}-\dfrac{6}{5}, & 0\leq t\leq 8 \\[8pt] \dfrac{36}{t^{2}}, & 8<t\leq 24 \end{cases}$

$\dfrac{t}{5}-\dfrac{6}{5}=0 \Rightarrow t=6 \in [0,8]$

En el segundo trozo la derivada es $\dfrac{36}{t^{2}}>0$ siempre, de modo que ahí la demanda crece.

Estudiamos el signo de la derivada.

Si $t=2$, $D'(2)=\dfrac{2-6}{5}<0$: la demanda decrece.
Si $t=7$, $D'(7)=\dfrac{7-6}{5}>0$: la demanda crece.
Si $t=12$, $D'(12)=\dfrac{36}{144}>0$: la demanda crece.



Comparamos los valores en el punto crítico, en el punto de salto y en los extremos del intervalo.

$D(0)=4 \qquad D(6)=\dfrac{36}{10}-\dfrac{36}{5}+4=3{,}6-7{,}2+4=0{,}4$

$D(8)=0{,}8 \qquad D(24)=-\dfrac{36}{24}+6=-1{,}5+6=4{,}5$

La demanda mínima absoluta fue de $0{,}4$ cientos de Gb/s, es decir, $40$ Gb/s, y se alcanzó a las 6 horas. La demanda máxima absoluta fue de $4{,}5$ cientos de Gb/s, o sea $450$ Gb/s, y se alcanzó a las 24 horas.