Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

En una determinada provincia, se seleccionó una muestra al azar de 400 personas cuya media de ingresos mensuales resultó igual a 1250 € con una desviación típica de 210 €.

a) Calcular un intervalo de confianza al 90 % para los ingresos medios mensuales.

b) ¿De qué tamaño debe ser la muestra si se desea estimar los ingresos medios mensuales con un error menor de 15 € y con una confianza del 95 %?

$\textbf{a) Calcular un intervalo de confianza al 90 \% para los ingresos medios mensuales.}$

La muestra tiene $n=400$ personas, con $\bar{x}=1250$ € y $\sigma=210$ €.

Para una confianza del 90 % es $\alpha=0{,}1$ y el valor que deja a su izquierda $0{,}95$ es $z_{\alpha/2}=1{,}645$.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}645\cdot\dfrac{210}{\sqrt{400}} =1{,}645\cdot 10{,}5=17{,}2725$

$IC_{90\%}(\mu)=(1250-17{,}2725,\ 1250+17{,}2725)=(1232{,}73,\ 1267{,}27)$

Con una confianza del 90 %, los ingresos medios mensuales están entre $1232{,}73$ y $1267{,}27$ euros.



$\textbf{b) ¿De qué tamaño debe ser la muestra si se desea estimar los ingresos medios mensuales con un error menor de 15 € y con una confianza del 95 \%?}$

Se despeja el tamaño muestral con $E=15$ y $z_{\alpha/2}=1{,}96$.

$n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{E}\right)^{2} =\left(\dfrac{1{,}96\cdot 210}{15}\right)^{2} =\left(\dfrac{411{,}6}{15}\right)^{2}=27{,}44^{2}=752{,}95$

Como el error tiene que quedar por debajo de 15 €, se toma el entero inmediatamente superior: la muestra debe ser de $753$ personas.