Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En una tienda de ropa se liquidan los pantalones que han quedado sin vender en la temporada. Los hay de tres tipos: A, sin defecto, todos al mismo precio de 20 euros; B, con defecto no apreciable, con una rebaja del 20 % sobre el precio de los anteriores y C, con defecto apreciable, con una rebaja del 60 % sobre el precio de los que no tienen defecto. Hay 70 pantalones para vender. El precio total de todos ellos es de 1280 euros, y los que tienen defecto suponen el 40 % de los que no lo tienen.

a) Plantear el sistema de ecuaciones.

b) Resolver correctamente.

c) ¿Cuántos pantalones hay de cada clase?

$\textbf{a) Plantear el sistema de ecuaciones.}$

Llamamos $x$ al número de pantalones del tipo A, $y$ a los del tipo B y $z$ a los del tipo C.

Los precios de los pantalones con defecto se obtienen aplicando la rebaja sobre los 20 euros de los que no lo tienen:

$20\cdot 0{,}80=16\ \text{€ (tipo B)} \qquad 20\cdot 0{,}40=8\ \text{€ (tipo C)}$

Hay 70 pantalones para vender $\Rightarrow$ $x+y+z=70$.

El precio total de todos ellos es de 1280 euros $\Rightarrow$ $20x+16y+8z=1280$.

Los que tienen defecto suponen el 40 % de los que no lo tienen $\Rightarrow$ $y+z=0{,}4x$.

$\begin{cases} x+y+z=70 \\ 20x+16y+8z=1280 \\ 0{,}4x-y-z=0 \end{cases}$

$\textbf{b) Resolver correctamente.}$

Sustituimos $y+z=0{,}4x$ en la primera ecuación.

$x+0{,}4x=70 \Rightarrow 1{,}4x=70 \Rightarrow x=50$

$y+z=0{,}4\cdot 50=20$

Llevamos $x=50$ a la segunda ecuación.

$20\cdot 50+16y+8z=1280 \Rightarrow 16y+8z=280 \Rightarrow 2y+z=35$

Restamos $y+z=20$ de esta última:

$(2y+z)-(y+z)=35-20 \Rightarrow y=15 \Rightarrow z=20-15=5$

$\textbf{c) ¿Cuántos pantalones hay de cada clase?}$

Comprobamos el importe: $20\cdot 50+16\cdot 15+8\cdot 5=1000+240+40=1280$ euros, y los 20 pantalones con defecto son en efecto el 40 % de los 50 que no lo tienen.

Hay $50$ pantalones del tipo A, $15$ del tipo B y $5$ del tipo C.