Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

La superficie de lona necesaria para fabricar un toldo está delimitada por las funciones:

$y = (x - 2)^2, \qquad y = 2x + 4$

a) Hacer un dibujo de dicha superficie.

b) Si se mide en metros, calcular el área de la superficie.

c) Si el precio del metro cuadrado de lona es igual a 4 €, ¿cuánto es necesario gastar para hacer tres toldos iguales?

$\textbf{a) Hacer un dibujo de dicha superficie.}$

La superficie está limitada por la parábola $y=(x-2)^{2}$ y la recta $y=2x+4$, así que empezamos por sus puntos de corte.

$(x-2)^{2}=2x+4 \Rightarrow x^{2}-4x+4=2x+4 \Rightarrow x^{2}-6x=0$

$x(x-6)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \Rightarrow y=4 \\ x=6 \Rightarrow y=16 \end{cases}$

Entre $x=0$ y $x=6$ la recta queda por encima de la parábola, cuyo vértice está en $(2,0)$.



$\textbf{b) Si se mide en metros, calcular el área de la superficie.}$

Integramos la diferencia entre la función de arriba y la de abajo entre los puntos de corte.

$A=\int_{0}^{6}\big[(2x+4)-(x-2)^{2}\big]dx =\int_{0}^{6}\left(2x+4-x^{2}+4x-4\right)dx$

$A=\int_{0}^{6}\left(6x-x^{2}\right)dx =\left[3x^{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{6}$

$A=3\cdot 36-\dfrac{216}{3}=108-72=36$

La lona necesaria para un toldo mide $36\ \text{m}^{2}$.

$\textbf{c) Si el precio del metro cuadrado de lona es igual a 4 €, ¿cuánto es necesario gastar para hacer tres toldos iguales?}$

$C=3\cdot 36\cdot 4=108\cdot 4=432\ \text{€}$

Hacen falta $432$ euros para fabricar los tres toldos.