Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Una naviera que opera entre islas ha decidido evaluar el peso de los vehículos que transporta para ajustar los precios de los billetes. Para ello ha tomado una muestra aleatoria de 64 vehículos, obteniendo un peso medio de 1123 kg con una desviación típica de 190 kg.

a) Suponiendo que la variable peso es normal, calcular un intervalo de confianza al 97 % para el peso medio de todos los vehículos transportados por la naviera.

b) ¿De qué tamaño debería ser la muestra si se desea estimar el peso medio de los vehículos con un error inferior a 20 kg y una confianza del 99 %?

c) Sabiendo que el 10 % de los vehículos que viajan con la naviera son todoterrenos, ¿cuál es la probabilidad de que entre los 64 de la muestra haya más de 8 todoterrenos?

$\textbf{a) Suponiendo que la variable peso es normal, calcular un intervalo de confianza al 97 \% para el peso medio de todos los vehículos transportados por la naviera.}$

La muestra tiene $n=64$ vehículos, con $\bar{x}=1123$ kg y $\sigma=190$ kg.

Para una confianza del 97 % es $\alpha=0{,}03$ y el valor que deja a su izquierda $0{,}985$ es $z_{\alpha/2}=2{,}17$.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=2{,}17\cdot\dfrac{190}{\sqrt{64}} =2{,}17\cdot 23{,}75=51{,}5375$

$IC_{97\%}(\mu)=(1123-51{,}5375,\ 1123+51{,}5375)=(1071{,}46,\ 1174{,}54)$

Con una confianza del 97 %, el peso medio de los vehículos está entre $1071{,}46$ y $1174{,}54$ kg.



$\textbf{b) ¿De qué tamaño debería ser la muestra si se desea estimar el peso medio de los vehículos con un error inferior a 20 kg y una confianza del 99 \%?}$

Se despeja el tamaño muestral con $E=20$ y $z_{\alpha/2}=2{,}575$.

$n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{E}\right)^{2} =\left(\dfrac{2{,}575\cdot 190}{20}\right)^{2} =\left(\dfrac{489{,}25}{20}\right)^{2}=24{,}4625^{2}=598{,}41$

Se toma el entero inmediatamente superior: la muestra debería ser de al menos $599$ vehículos.

$\textbf{c) Sabiendo que el 10 \% de los vehículos que viajan con la naviera son todoterrenos, ¿cuál es la probabilidad de que entre los 64 de la muestra haya más de 8 todoterrenos?}$

Sea $X$ el número de todoterrenos entre los 64 vehículos, con $X\sim B(64;0{,}1)$.

$\mu=64\cdot 0{,}1=6{,}4 \qquad \sigma=\sqrt{64\cdot 0{,}1\cdot 0{,}9}=\sqrt{5{,}76}=2{,}4$

Como $n\,p=6{,}4>5$ y $n\,q=57{,}6>5$, aproximamos por la normal $X'\sim N(6{,}4\,;\,2{,}4)$ con corrección de continuidad.

$P(X>8)=P(X\geq 9)\approx P(X'\geq 8{,}5) =P\left(Z\geq\dfrac{8{,}5-6{,}4}{2{,}4}\right)=P(Z\geq 0{,}88)$

$=1-P(Z<0{,}88)=1-0{,}8106=0{,}1894$

La probabilidad de que entre los 64 vehículos de la muestra haya más de 8 todoterrenos es $0{,}1894$.