Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Se quieren plantar plataneras y naranjeros. Cada platanera cuesta 5 euros y cada naranjero 2 euros. Para facilitar la recogida, el número de plataneras no debe superar el doble del de naranjeros ni ser inferior a su mitad. Además, se puede dedicar un máximo de 900 euros a poner esta plantación. Se espera que cada platanera produzca un beneficio de 15 euros y cada naranjero 8 euros.

a) Plantear el correspondiente problema de Programación Lineal.

b) Representar la región factible e indicar sus vértices.

c) Determinar la cantidad de plantas de cada tipo que se deben plantar para maximizar el beneficio global.

$\textbf{a) Plantear el correspondiente problema de Programación Lineal.}$

Llamamos $x$ al número de plataneras e $y$ al número de naranjeros que se plantan.

Ordenamos los datos en una tabla.

$$	$\text{Coste (€)}$	$\text{Beneficio (€)}$ $\text{Plataneras } (x)$	$5x$	$15x$ $\text{Naranjeros } (y)$	$2y$	$8y$ $\text{Totales}$	$5x+2y$	$15x+8y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio:

$B(x,y)=15x+8y$

Las restricciones son:

El número de plataneras no supera el doble del de naranjeros $\Rightarrow$ $x\leq 2y$.

El número de plataneras no es inferior a la mitad del de naranjeros $\Rightarrow$ $x\geq\dfrac{y}{2} \Rightarrow y\leq 2x$.

Se pueden dedicar como máximo 900 euros $\Rightarrow$ $5x+2y\leq 900$.

El número de plantas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\geq 0$, $y\geq 0$.

$\text{Maximizar } B(x,y)=15x+8y \quad \text{sujeto a} \quad \begin{cases} x\leq 2y \\ y\leq 2x \\ 5x+2y\leq 900 \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{b) Representar la región factible e indicar sus vértices.}$

Las dos primeras restricciones son rectas que pasan por el origen; la tercera se dibuja con su tabla de valores.

$x$	$y=\dfrac{900-5x}{2}$	$y=\dfrac{x}{2}$	$y=2x$ $100$	$200$	$50$	$200$ $150$	$75$	$75$	$300$

Las dos rectas que pasan por el origen se cortan en $O(0,0)$. Los otros dos vértices salen de cortar cada una de ellas con la recta del presupuesto.

Vértice $A$:

$\begin{cases} x=2y \\ 5x+2y=900 \end{cases} \Rightarrow 10y+2y=900 \Rightarrow y=75 \Rightarrow x=150 \Rightarrow A(150,75)$

Vértice $B$:

$\begin{cases} y=2x \\ 5x+2y=900 \end{cases} \Rightarrow 5x+4x=900 \Rightarrow x=100 \Rightarrow y=200 \Rightarrow B(100,200)$

La región factible es el triángulo de vértices $O(0,0)$, $A(150,75)$ y $B(100,200)$.

$\textbf{c) Determinar la cantidad de plantas de cada tipo que se deben plantar para maximizar el beneficio global.}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, evaluamos el beneficio en los vértices.

$B(0,0)=0\ \text{€}$

$B(150,75)=15\cdot 150+8\cdot 75=2250+600=2850\ \text{€}$

$B(100,200)=15\cdot 100+8\cdot 200=1500+1600=3100\ \text{€}$

Se deben plantar $100$ plataneras y $200$ naranjeros, con lo que el beneficio global máximo es de $3100$ euros.