Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Durante los últimos 10 años, los costos en comunicaciones de una empresa, en decenas de miles de euros, vienen dados por la función:

$C(t) = \begin{cases} \dfrac{(t - 1)^2}{3} + 4 & , t \in [0,4] \\[6pt] \dfrac{18 - t}{2} & , t \in (4,10] \end{cases}$

siendo $t$ el tiempo en años. Justificando la respuesta:

a) ¿Es continua $C(t)$?

b) ¿Cuándo $C(t)$ es derivable? ¿Cuándo creció y cuándo decreció $C(t)$?

c) ¿Cuándo alcanzó $C(t)$ el máximo y el mínimo absolutos? ¿Cuáles fueron los valores máximos y mínimos absolutos?

$\textbf{a) ¿Es continua } \boldsymbol{C(t)}\textbf{?}$

Los dos trozos son funciones polinómicas, continuas y derivables en todo su dominio, de modo que solo hay que estudiar el empalme $t=4$.

$\lim_{t\to 4^{-}}C(t)=\dfrac{(4-1)^{2}}{3}+4=\dfrac{9}{3}+4=7$

$\lim_{t\to 4^{+}}C(t)=\dfrac{18-4}{2}=\dfrac{14}{2}=7$

Como $C(4)=7$ y los dos límites laterales valen $7$, la función es continua en todo el intervalo $[0,10]$.

$\textbf{b) ¿Cuándo } \boldsymbol{C(t)}\textbf{ es derivable? ¿Cuándo creció y cuándo decreció } \boldsymbol{C(t)}\textbf{?}$

Derivamos cada trozo y comparamos las derivadas laterales en $t=4$.

$C'(t)=\begin{cases} \dfrac{2(t-1)}{3}, & 0\leq t<4 \\[8pt] -\dfrac{1}{2}, & 4<t\leq 10 \end{cases}$

$C'(4^{-})=\dfrac{2\cdot 3}{3}=2 \qquad C'(4^{+})=-\dfrac{1}{2}$

Las derivadas laterales son distintas, así que la función es derivable en $[0,10]$ salvo en $t=4$.

Buscamos los puntos críticos: en el primer trozo $2(t-1)=0 \Rightarrow t=1$; en el segundo la derivada es la constante negativa $-\dfrac{1}{2}$ y no hay ninguno.

Estudiamos el signo de la derivada.

Si $t=0{,}5$, $C'(0{,}5)=\dfrac{2(-0{,}5)}{3}<0$: los costes decrecen.
Si $t=2$, $C'(2)=\dfrac{2}{3}>0$: los costes crecen.
Si $t=6$, $C'(6)=-\dfrac{1}{2}<0$: los costes decrecen.



Los costes decrecieron en $(0,1)$, crecieron en $(1,4)$ y volvieron a decrecer en $(4,10)$.

$\textbf{c) ¿Cuándo alcanzó } \boldsymbol{C(t)}\textbf{ el máximo y el mínimo absolutos? ¿Cuáles fueron los valores máximos y mínimos absolutos?}$

Como la función es continua en un intervalo cerrado, los extremos absolutos están entre los puntos críticos, el punto anguloso y los extremos del intervalo.

$C(0)=\dfrac{1}{3}+4=\dfrac{13}{3}\approx 4{,}33 \qquad C(1)=0+4=4$

$C(4)=7 \qquad C(10)=\dfrac{18-10}{2}=4$



El máximo absoluto se alcanzó en $t=4$ y vale $7$ decenas de miles de euros, es decir, 70 000 euros. El mínimo absoluto vale $4$ decenas de miles de euros, o sea 40 000 euros, y se alcanzó dos veces: en $t=1$ y en $t=10$.