Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

En la primera fase de un examen de oposición, se realiza un test que consta de 90 preguntas a contestar verdadero o falso. Se aprueba si se contestan correctamente al menos 50 preguntas. Un opositor, para responder, lanza una moneda y contesta verdadero si sale cara y falso si sale cruz. Hallar:

a) Probabilidad de aprobar el examen.

b) Probabilidad de acertar más de 51 y menos de 60 preguntas.

c) Probabilidad de acertar a lo sumo 40 preguntas.

Sea $X$ el número de preguntas acertadas por el opositor. Como responde lanzando una moneda, acierta cada pregunta con probabilidad $0{,}5$ e independientemente de las demás, de modo que $X\sim B(90;0{,}5)$.

$\mu=90\cdot 0{,}5=45 \qquad \sigma=\sqrt{90\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5}=\sqrt{22{,}5}=4{,}74$

Como $n\,p=45>5$ y $n\,q=45>5$, la binomial se aproxima por la normal $X'\sim N(45\,;\,4{,}74)$, con corrección de continuidad.

$\textbf{a) Probabilidad de aprobar el examen.}$

Se aprueba con 50 preguntas correctas o más.

$P(X\geq 50)\approx P(X'\geq 49{,}5) =P\left(Z\geq\dfrac{49{,}5-45}{4{,}74}\right)=P(Z\geq 0{,}95)$

$=1-P(Z<0{,}95)=1-0{,}8289=0{,}1711$

La probabilidad de aprobar el examen contestando al azar es $0{,}1711$.



$\textbf{b) Probabilidad de acertar más de 51 y menos de 60 preguntas.}$

Acertar más de 51 y menos de 60 significa entre 52 y 59 preguntas.

$P(52\leq X\leq 59)\approx P(51{,}5\leq X'\leq 59{,}5)$

$=P\left(\dfrac{51{,}5-45}{4{,}74}\leq Z\leq\dfrac{59{,}5-45}{4{,}74}\right) =P(1{,}37\leq Z\leq 3{,}06)$

$=P(Z\leq 3{,}06)-P(Z\leq 1{,}37)=0{,}9989-0{,}9147=0{,}0842$

La probabilidad de acertar más de 51 y menos de 60 preguntas es $0{,}0842$.

$\textbf{c) Probabilidad de acertar a lo sumo 40 preguntas.}$

$P(X\leq 40)\approx P(X'\leq 40{,}5) =P\left(Z\leq\dfrac{40{,}5-45}{4{,}74}\right)=P(Z\leq -0{,}95)$

Por la simetría de la campana,

$P(Z\leq -0{,}95)=1-P(Z\leq 0{,}95)=1-0{,}8289=0{,}1711$

La probabilidad de acertar como mucho 40 preguntas es $0{,}1711$, la misma que la de aprobar: los dos sucesos son simétricos respecto de las 45 preguntas, que es la media.