Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Tres nietos desean hacer un regalo de 60 € a su abuela y deciden reunir esta cantidad de la siguiente forma: Luis, el mayor, aporta el triple de lo que aportan los otros dos juntos. Carmen aporta 3 € por cada dos que aporta Pedro.

a) Plantear el sistema de ecuaciones lineales.

b) Resolver el sistema.

c) ¿Cuánto aporta cada nieto?

$\textbf{a) Plantear el sistema de ecuaciones lineales.}$

Llamamos $x$ a lo que aporta Luis, $y$ a lo que aporta Carmen y $z$ a lo que aporta Pedro, en euros.

Entre los tres reúnen 60 euros $\Rightarrow$ $x+y+z=60$.

Luis aporta el triple de lo que aportan los otros dos juntos $\Rightarrow$ $x=3(y+z)$.

Carmen aporta 3 euros por cada dos que aporta Pedro $\Rightarrow$ $\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{2} \Rightarrow 2y=3z$.

$\begin{cases} x+y+z=60 \\ x-3y-3z=0 \\ 2y-3z=0 \end{cases}$

$\textbf{b) Resolver el sistema.}$

Sustituimos $x=3(y+z)$ en la primera ecuación.

$3(y+z)+(y+z)=60 \Rightarrow 4(y+z)=60 \Rightarrow y+z=15$

$x=3\cdot 15=45$

De la tercera ecuación, $y=\dfrac{3z}{2}$, y sustituyendo:

$\dfrac{3z}{2}+z=15 \Rightarrow \dfrac{5z}{2}=15 \Rightarrow z=6$

$y=\dfrac{3\cdot 6}{2}=9$

$\textbf{c) ¿Cuánto aporta cada nieto?}$

Comprobamos: $45+9+6=60$, y en efecto $45=3\cdot(9+6)$ y Carmen aporta 3 euros por cada 2 de Pedro.

Luis aporta $45$ euros, Carmen $9$ euros y Pedro $6$ euros.