Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

La tasa de paro (expresada en porcentaje sobre la población en edad de trabajar) registrada en cierta región europea durante los últimos 72 trimestres se ha comportado de acuerdo a la siguiente función:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{125}(4x^2 - 80x + 1025) & 0 \le x < 35 \\[6pt] \dfrac{1}{625}(13x^2 - 1560x + 54300) & 35 \le x \le 72 \end{cases}$

donde $x$ representa el trimestre.

a) Representar gráficamente la función. Justificando las respuestas, explicar si es continua, y determinar cuándo es creciente y cuándo es decreciente.

b) ¿En qué trimestre alcanzó la tasa de paro su mínimo? ¿Cuándo alcanzó el máximo? ¿Cuáles fueron los valores de las tasas de paro mínima y máxima?

c) ¿En qué trimestre se superó por primera vez el 10 % de paro?

$\textbf{a) Representar gráficamente la función. Justificando las respuestas, explicar si es continua, y determinar cuándo es creciente y cuándo es decreciente.}$

Los dos trozos son funciones polinómicas, continuas y derivables en todo su dominio, de modo que solo hay que estudiar el empalme $x=35$.

$\lim_{x\to 35^{-}}f(x)=\dfrac{1}{125}\left(4\cdot 1225-2800+1025\right) =\dfrac{3125}{125}=25$

$\lim_{x\to 35^{+}}f(x)=\dfrac{1}{625}\left(13\cdot 1225-54\,600+54\,300\right) =\dfrac{15\,625}{625}=25$

Como $f(35)=25$ y los dos límites laterales valen $25$, la función es continua en todo el intervalo $[0,72]$.

Derivamos cada trozo y buscamos los puntos críticos.

$f'(x)=\begin{cases} \dfrac{8x-80}{125}, & 0\leq x<35 \\[8pt] \dfrac{26x-1560}{625}, & 35<x\leq 72 \end{cases}$

$8x-80=0 \Rightarrow x=10 \qquad 26x-1560=0 \Rightarrow x=60$

Estudiamos el signo de la derivada.

Si $x=5$, $f'(5)=\dfrac{40-80}{125}<0$: la tasa de paro decrece.
Si $x=20$, $f'(20)=\dfrac{160-80}{125}>0$: la tasa de paro crece.
Si $x=40$, $f'(40)=\dfrac{1040-1560}{625}<0$: la tasa de paro decrece.
Si $x=70$, $f'(70)=\dfrac{1820-1560}{625}>0$: la tasa de paro crece.



La tasa de paro decrece en $(0,10)$ y en $(35,60)$, y crece en $(10,35)$ y en $(60,72)$.



$\textbf{b) ¿En qué trimestre alcanzó la tasa de paro su mínimo? ¿Cuándo alcanzó el máximo? ¿Cuáles fueron los valores de las tasas de paro mínima y máxima?}$

Como la función es continua en un intervalo cerrado, los extremos absolutos están entre los puntos críticos y los extremos del intervalo.

$f(0)=\dfrac{1025}{125}=8{,}2 \qquad f(10)=\dfrac{400-800+1025}{125}=\dfrac{625}{125}=5$

$f(35)=25 \qquad f(60)=\dfrac{46\,800-93\,600+54\,300}{625}=\dfrac{7500}{625}=12$

$f(72)=\dfrac{67\,392-112\,320+54\,300}{625}=\dfrac{9372}{625}=14{,}9952$

La tasa de paro alcanzó su mínimo en el trimestre $10$, con un $5$ %, y su máximo en el trimestre $35$, con un $25$ %.

$\textbf{c) ¿En qué trimestre se superó por primera vez el 10 \% de paro?}$

En el primer trozo la función parte de $8{,}2$, baja hasta $5$ y después sube hasta $25$, así que el 10 % se supera por primera vez en ese tramo creciente. Resolvemos la ecuación.

$\dfrac{1}{125}\left(4x^{2}-80x+1025\right)=10 \Rightarrow 4x^{2}-80x+1025=1250$

$4x^{2}-80x-225=0 \Rightarrow x=\dfrac{80\pm\sqrt{6400+3600}}{8}=\dfrac{80\pm 100}{8}$

$\begin{cases} x=22{,}5 \\ x=-2{,}5 \end{cases}$

Se descarta la solución negativa por no pertenecer al dominio. Comprobamos con los trimestres enteros:

$f(22)=\dfrac{1936-1760+1025}{125}=\dfrac{1201}{125}=9{,}608<10$

$f(23)=\dfrac{2116-1840+1025}{125}=\dfrac{1301}{125}=10{,}408>10$

La tasa de paro cruza el 10 % en $x=22{,}5$, de modo que el primer trimestre en el que se supera el 10 % de paro es el $23$.