Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

A partir de una muestra de 81 adultos, se estima que la media de horas semanales dedicadas a hacer ejercicio está entre 3,608 y 4,392 horas (ambos incluidos). Suponiendo hipótesis de normalidad, con una desviación típica de $\dfrac{9}{5}$ horas:

a) ¿Cuál es la media muestral obtenida?

b) ¿Cuál es el nivel de confianza utilizado?

c) Usando la estimación puntual de la media de horas semanales dedicadas a hacer ejercicio obtenida en el apartado a), ¿cuál es la probabilidad de que la media de horas semanales dedicadas por 16 adultos a hacer ejercicio sea mayor o igual que 4,1 horas?

$\textbf{a) ¿Cuál es la media muestral obtenida?}$

El intervalo de confianza para la media es simétrico respecto de la media muestral, que es por tanto su centro.

$\bar{x}=\dfrac{3{,}608+4{,}392}{2}=4$

La media muestral obtenida es de $4$ horas semanales.

$\textbf{b) ¿Cuál es el nivel de confianza utilizado?}$

La semiamplitud del intervalo es el error de estimación.

$E=\dfrac{4{,}392-3{,}608}{2}=0{,}392$

De la fórmula del error se despeja el valor crítico.

$z_{\alpha/2}=\dfrac{E\sqrt{n}}{\sigma} =\dfrac{0{,}392\cdot\sqrt{81}}{\dfrac{9}{5}} =\dfrac{0{,}392\cdot 9}{1{,}8}=\dfrac{3{,}528}{1{,}8}=1{,}96$

Buscando $1{,}96$ en la tabla de la $N(0,1)$ resulta $P(Z\leq 1{,}96)=0{,}975$, de donde

$1-\alpha=2\cdot 0{,}975-1=0{,}95$

El nivel de confianza utilizado es del $95$ %.



$\textbf{c) Usando la estimación puntual de la media de horas semanales dedicadas a hacer ejercicio obtenida en el apartado a), ¿cuál es la probabilidad de que la media de horas semanales dedicadas por 16 adultos a hacer ejercicio sea mayor o igual que 4,1 horas?}$

Con $\mu=4$, $\sigma=1{,}8$ y $n=16$, la media muestral se distribuye

$\bar{X}\sim N\left(4,\dfrac{1{,}8}{\sqrt{16}}\right)=N(4\,;\,0{,}45)$

$P(\bar{X}\geq 4{,}1)=P\left(Z\geq\dfrac{4{,}1-4}{0{,}45}\right)=P(Z\geq 0{,}22)$

$=1-P(Z<0{,}22)=1-0{,}5871=0{,}4129$

La probabilidad de que la media de los 16 adultos sea de 4,1 horas o más es $0{,}4129$.