Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa dedicada al comercio del textil desea liquidar 400 camisas y 300 pantalones. Para ello lanza dos ofertas: la oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón por 30 €, y la oferta B consiste en un lote de dos camisas y un pantalón, que se vende a 40 €. Hay que ofrecer al menos 40 lotes de la oferta A y al menos 20 de la oferta B.

a) Formular el correspondiente problema de programación lineal.

b) Representar la región factible.

c) Para maximizar las ganancias, ¿cuántos lotes se deben vender de cada tipo? ¿Cuál es la ganancia máxima?

$\textbf{a) Formular el correspondiente problema de programación lineal.}$

Llamamos $x$ al número de lotes de la oferta A e $y$ al número de lotes de la oferta B.

Ordenamos los datos en una tabla.

$$	$\text{Camisas}$	$\text{Pantalones}$	$\text{Ganancia (€)}$ $\text{Oferta A } (x)$	$x$	$x$	$30x$ $\text{Oferta B } (y)$	$2y$	$y$	$40y$ $\text{Totales}$	$x+2y$	$x+y$	$30x+40y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es la ganancia:

$G(x,y)=30x+40y$

Las restricciones son:

Hay 400 camisas $\Rightarrow$ $x+2y\leq 400$.

Hay 300 pantalones $\Rightarrow$ $x+y\leq 300$.

Hay que ofrecer al menos 40 lotes A y al menos 20 lotes B $\Rightarrow$ $x\geq 40$, $y\geq 20$.

$\text{Maximizar } G(x,y)=30x+40y \quad \text{sujeto a} \quad \begin{cases} x+2y\leq 400 \\ x+y\leq 300 \\ x\geq 40;\ y\geq 20 \end{cases}$

$\textbf{b) Representar la región factible.}$

Dibujamos las cuatro rectas frontera; para las oblicuas usamos sus tablas de valores.

$x$	$y=\dfrac{400-x}{2}$	$y=300-x$ $40$	$180$	$260$ $200$	$100$	$100$

Los vértices se obtienen cortando las rectas dos a dos.

Vértice $A$: $x=40$ con $y=20$ $\Rightarrow A(40,20)$.

Vértice $B$:

$\begin{cases} x=40 \\ x+2y=400 \end{cases} \Rightarrow 2y=360 \Rightarrow y=180 \Rightarrow B(40,180)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} x+2y=400 \\ x+y=300 \end{cases} \Rightarrow y=100 \Rightarrow x=200 \Rightarrow C(200,100)$

Vértice $D$:

$\begin{cases} y=20 \\ x+y=300 \end{cases} \Rightarrow x=280 \Rightarrow D(280,20)$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $A(40,20)$, $B(40,180)$, $C(200,100)$ y $D(280,20)$.

$\textbf{c) Para maximizar las ganancias, ¿cuántos lotes se deben vender de cada tipo? ¿Cuál es la ganancia máxima?}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, evaluamos la ganancia en los vértices.

$G(40,20)=30\cdot 40+40\cdot 20=1200+800=2000\ \text{€}$

$G(40,180)=30\cdot 40+40\cdot 180=1200+7200=8400\ \text{€}$

$G(200,100)=30\cdot 200+40\cdot 100=6000+4000=10\,000\ \text{€}$

$G(280,20)=30\cdot 280+40\cdot 20=8400+800=9200\ \text{€}$

Se deben vender $200$ lotes de la oferta A y $100$ de la oferta B, con lo que la ganancia máxima es de $10\,000$ euros.