Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Con base en los datos proporcionados por una muestra aleatoria de una población, se desea estimar la proporción de votantes a un determinado partido político.

a) Si de una muestra de 750 personas, 300 dicen que lo votan, calcular, con un nivel de confianza del 97 %, un intervalo para la proporción de votantes de la población a ese partido.

b) Si, en otra muestra, la proporción de votantes ha sido 0,3 y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0,05, con un nivel de confianza del 99 %, calcular el tamaño de dicha muestra.

$\textbf{a) Si de una muestra de 750 personas, 300 dicen que lo votan, calcular, con un nivel de confianza del 97 \%, un intervalo para la proporción de votantes de la población a ese partido.}$

Calculamos la proporción muestral.

$\hat{p}=\dfrac{300}{750}=0{,}4 \qquad \hat{q}=0{,}6$

Para una confianza del 97 % es $\alpha=0{,}03$ y el valor que deja a su izquierda $0{,}985$ es $z_{\alpha/2}=2{,}17$.

$E=2{,}17\sqrt{\dfrac{0{,}4\cdot 0{,}6}{750}}=2{,}17\cdot 0{,}0179=0{,}0388$

$IC_{97\%}(p)=(0{,}4-0{,}0388,\ 0{,}4+0{,}0388)=(0{,}3612,\ 0{,}4388)$

Con una confianza del 97 %, la proporción de votantes de ese partido está entre $0{,}3612$ y $0{,}4388$.



$\textbf{b) Si, en otra muestra, la proporción de votantes ha sido 0,3 y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0,05, con un nivel de confianza del 99 \%, calcular el tamaño de dicha muestra.}$

Se despeja el tamaño muestral de la fórmula del error, con $\hat{p}=0{,}3$, $E=0{,}05$ y $z_{\alpha/2}=2{,}575$.

$n=\dfrac{z_{\alpha/2}^{\,2}\cdot\hat{p}\,\hat{q}}{E^{2}} =\dfrac{2{,}575^{2}\cdot 0{,}3\cdot 0{,}7}{0{,}05^{2}}$

$n=\dfrac{6{,}6306\cdot 0{,}21}{0{,}0025}=\dfrac{1{,}3924}{0{,}0025}=556{,}97$

Como el error tiene que quedar por debajo de 0,05, se toma el entero inmediatamente superior: la muestra fue de al menos $557$ personas.