Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

Un agricultor dispone de un terreno cuya forma coincide con el área limitada entre los ejes de coordenadas y la parábola $f(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}6x + 130$. El agricultor ha dividido el terreno en tres parcelas A, B y C tal como se muestra en la figura adjunta. Las líneas que dividen las parcelas corresponden, respectivamente, a las rectas $x = 80$ e $y = 130$ (las distancias se miden en metros).



a) Calcular la superficie de cada parcela.

b) El agricultor dedicará una de las parcelas a plantar trigo, otra a plantar millo y la tercera a plantar cebada. El coste total anual de producción de toda la finca (mano de obra, maquinaria, semillas, agua, transporte, etc.) asciende a 22134 €. Si el trigo le produce un ingreso anual de 4 €/m², el millo 3,5 €/m², y la cebada 2 €/m², ¿qué deberá plantar el agricultor en cada parcela si quiere maximizar su beneficio? ¿Cuál será el beneficio total anual?

$\textbf{a) Calcular la superficie de cada parcela.}$

Primero comprobamos los datos que delimitan las parcelas. La parábola corta al eje de ordenadas y a la recta $y=130$ en

$f(0)=130 \qquad f(80)=-0{,}02\cdot 6400+1{,}6\cdot 80+130=-128+128+130=130$

de modo que la recta $y=130$ corta a la parábola justo en $x=0$ y en $x=80$. Y el terreno acaba donde la parábola corta al eje de abscisas:

$-0{,}02x^{2}+1{,}6x+130=0 \Rightarrow x^{2}-80x-6500=0$

$x=\dfrac{80\pm\sqrt{6400+26\,000}}{2}=\dfrac{80\pm 180}{2} \Rightarrow \begin{cases} x=130 \\ x=-50 \end{cases}$

Se descarta la solución negativa. El terreno llega, pues, hasta $x=130$.

La parcela $A$ es el rectángulo de base 80 y altura 130.

$A=80\cdot 130=10\,400\ \text{m}^{2}$

La parcela $B$ es la región comprendida entre la parábola y la recta $y=130$, de $x=0$ a $x=80$.

$B=\int_{0}^{80}\left(-0{,}02x^{2}+1{,}6x+130-130\right)dx =\int_{0}^{80}\left(-0{,}02x^{2}+1{,}6x\right)dx$

$B=\left[-\dfrac{0{,}02x^{3}}{3}+0{,}8x^{2}\right]_{0}^{80} =-\dfrac{10\,240}{3}+5120=\dfrac{5120}{3}\approx 1706{,}67\ \text{m}^{2}$

La parcela $C$ está bajo la parábola y sobre el eje de abscisas, de $x=80$ a $x=130$.

$C=\int_{80}^{130}\left(-0{,}02x^{2}+1{,}6x+130\right)dx =\left[-\dfrac{0{,}02x^{3}}{3}+0{,}8x^{2}+130x\right]_{80}^{130}$

$C=\left(-\dfrac{43\,940}{3}+13\,520+16\,900\right) -\left(-\dfrac{10\,240}{3}+5120+10\,400\right)$

$C=\dfrac{47\,320}{3}-\dfrac{36\,320}{3}=\dfrac{11\,000}{3}\approx 3666{,}67\ \text{m}^{2}$

Las parcelas miden $10\,400\ \text{m}^{2}$ la $A$, unos $1706{,}67\ \text{m}^{2}$ la $B$ y unos $3666{,}67\ \text{m}^{2}$ la $C$.

$\textbf{b) El agricultor dedicará una de las parcelas a plantar trigo, otra a plantar millo y la tercera a plantar cebada. El coste total anual de producción de toda la finca (mano de obra, maquinaria, semillas, agua, transporte, etc.) asciende a 22134 €. Si el trigo le produce un ingreso anual de 4 €/m², el millo 3,5 €/m², y la cebada 2 €/m², ¿qué deberá plantar el agricultor en cada parcela si quiere maximizar su beneficio? ¿Cuál será el beneficio total anual?}$

El coste es el mismo se plante lo que se plante, así que maximizar el beneficio equivale a maximizar el ingreso. Como el ingreso total es la suma de los productos superficie por precio, conviene asignar el precio más alto a la parcela más grande y el más bajo a la más pequeña.

Ordenando las superficies de mayor a menor se obtiene $A>C>B$, y los precios de mayor a menor son 4, 3,5 y 2 €/m². Por tanto se planta trigo en $A$, millo en $C$ y cebada en $B$.

$I_{A}=4\cdot 10\,400=41\,600\ \text{€}$

$I_{C}=3{,}5\cdot\dfrac{11\,000}{3}=\dfrac{38\,500}{3}\approx 12\,833{,}33\ \text{€}$

$I_{B}=2\cdot\dfrac{5120}{3}=\dfrac{10\,240}{3}\approx 3413{,}33\ \text{€}$

$I=41\,600+\dfrac{48\,740}{3}=\dfrac{173\,540}{3}\approx 57\,846{,}67\ \text{€}$

$B=I-22\,134\approx 57\,846{,}67-22\,134=35\,712{,}67\ \text{€}$

El agricultor debe plantar trigo en la parcela $A$, millo en la $C$ y cebada en la $B$, con lo que obtendrá un beneficio total anual de unos $35\,712{,}67$ euros.