Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

De acuerdo con los datos disponibles, el número mensual de casos activos de COVID-19, por cada 100.000 personas mayores de 70 años en Canarias entre marzo y diciembre de 2020, puede aproximarse mediante la función:

$C(t) = \begin{cases} -15t^2 + 150t - 315 & 3 \le t \le 6{,}5 \\[6pt] \dfrac{53}{8}t - \dfrac{269}{16} & 6{,}5 < t \le 8{,}5 \\[6pt] -18t^2 + 360t - 1720 & 8{,}5 < t \le 12 \end{cases}$

donde $t$ es el tiempo (en meses) transcurrido desde el 1 de enero de 2020.

a) Representar gráficamente esta función. ¿Es continua?

b) Describir la variación de la curva de casos activos (cuando crece y cuando decrece). ¿Cuándo se produjeron los picos del número de casos activos de COVID en estas personas? ¿Cuántos casos activos había en esos momentos?

c) ¿En qué momento se alcanzaron por primera vez los 62 casos activos por cada 100.000 personas de este grupo de edad?

$\textbf{a) Representar gráficamente esta función. ¿Es continua?}$

Los tres trozos son polinómicos, continuos y derivables en todo su dominio, de modo que solo hay que estudiar los dos empalmes.

$\lim_{t\to 6{,}5^{-}}C(t)=-15\cdot 6{,}5^{2}+150\cdot 6{,}5-315 =-633{,}75+975-315=26{,}25$

$\lim_{t\to 6{,}5^{+}}C(t)=\dfrac{53}{8}\cdot 6{,}5-\dfrac{269}{16} =43{,}0625-16{,}8125=26{,}25$

$\lim_{t\to 8{,}5^{-}}C(t)=\dfrac{53}{8}\cdot 8{,}5-\dfrac{269}{16} =56{,}3125-16{,}8125=39{,}5$

$\lim_{t\to 8{,}5^{+}}C(t)=-18\cdot 8{,}5^{2}+360\cdot 8{,}5-1720 =-1300{,}5+3060-1720=39{,}5$

En los dos puntos los límites laterales coinciden con el valor de la función, así que $C(t)$ es continua en todo el intervalo $[3,12]$.



$\textbf{b) Describir la variación de la curva de casos activos (cuando crece y cuando decrece). ¿Cuándo se produjeron los picos del número de casos activos de COVID en estas personas? ¿Cuántos casos activos había en esos momentos?}$

Derivamos cada trozo y buscamos los puntos críticos.

$C'(t)=\begin{cases} -30t+150, & 3\leq t<6{,}5 \\[6pt] \dfrac{53}{8}, & 6{,}5<t<8{,}5 \\[4pt] -36t+360, & 8{,}5<t\leq 12 \end{cases}$

$-30t+150=0 \Rightarrow t=5 \qquad -36t+360=0 \Rightarrow t=10$

En el tramo central la derivada es la constante positiva $\dfrac{53}{8}$, así que ahí la función siempre crece.

Estudiamos el signo de la derivada.

Si $t=4$, $C'(4)=-120+150=30>0$: los casos crecen.
Si $t=6$, $C'(6)=-180+150=-30<0$: los casos decrecen.
Si $t=9$, $C'(9)=-324+360=36>0$: los casos crecen.
Si $t=11$, $C'(11)=-396+360=-36<0$: los casos decrecen.



Los casos activos crecen en $(3,5)$ y en $(6{,}5;10)$, y decrecen en $(5;6{,}5)$ y en $(10,12)$.

$C(5)=-15\cdot 25+150\cdot 5-315=-375+750-315=60$

$C(10)=-18\cdot 100+360\cdot 10-1720=-1800+3600-1720=80$

Hubo dos picos: el primero en $t=5$, es decir en mayo de 2020, con $60$ casos activos por cada 100 000 personas, y el segundo en $t=10$, en octubre, con $80$ casos activos.

$\textbf{c) ¿En qué momento se alcanzaron por primera vez los 62 casos activos por cada 100.000 personas de este grupo de edad?}$

Resolvemos $C(t)=62$ en cada trozo.

En el primero el máximo es $60<62$, luego no hay solución.

En el segundo:

$\dfrac{53}{8}t-\dfrac{269}{16}=62 \Rightarrow \dfrac{106t-269}{16}=62 \Rightarrow 106t=1261 \Rightarrow t=11{,}90$

valor que no pertenece a $(6{,}5;8{,}5]$, así que se descarta.

En el tercero:

$-18t^{2}+360t-1720=62 \Rightarrow -18t^{2}+360t-1782=0 \Rightarrow t^{2}-20t+99=0$

$t=\dfrac{20\pm\sqrt{400-396}}{2}=\dfrac{20\pm 2}{2} \Rightarrow \begin{cases} t=9 \\ t=11 \end{cases}$

Los dos valores pertenecen al tramo, pero el primero en el tiempo es $t=9$.

Los 62 casos activos se alcanzaron por primera vez en $t=9$, es decir, en septiembre de 2020.