Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Se ha realizado una encuesta entre los médicos de los distintos centros sanitarios de las islas para evaluar la proporción de médicos que han sufrido episodios de ansiedad durante el último año. En la encuesta participaron 350 médicos elegidos al azar entre los distintos centros, de los cuales 84 manifestaron haber tenido al menos uno de estos episodios en el último año.

a) ¿Cuál es la proporción de médicos de la muestra que han sufrido episodios de ansiedad el último año? Calcular un intervalo de confianza al 94 % para dicha proporción en la población de médicos de las islas.

b) Utilizando la proporción obtenida en el apartado anterior como estimador de la proporción de médicos con episodios de ansiedad, ¿de qué tamaño debe ser la muestra de médicos si se desea construir el intervalo anterior con un error máximo de 0,02?

c) ¿Cuál ha sido el nivel de confianza empleado si, con los mismos datos, el intervalo de confianza obtenido es $[0{,}1905,\ 0{,}2895]$?

$\textbf{a) ¿Cuál es la proporción de médicos de la muestra que han sufrido episodios de ansiedad el último año? Calcular un intervalo de confianza al 94 \% para dicha proporción en la población de médicos de las islas.}$

Calculamos la proporción muestral.

$\hat{p}=\dfrac{84}{350}=0{,}24 \qquad \hat{q}=0{,}76$

Para una confianza del 94 % es $\alpha=0{,}06$ y el valor que deja a su izquierda $0{,}97$ es $z_{\alpha/2}=1{,}88$.

$E=1{,}88\sqrt{\dfrac{0{,}24\cdot 0{,}76}{350}}=1{,}88\cdot 0{,}0228=0{,}0429$

$IC_{94\%}(p)=(0{,}24-0{,}0429,\ 0{,}24+0{,}0429)=(0{,}1971,\ 0{,}2829)$

La proporción muestral es $0{,}24$ y, con una confianza del 94 %, la proporción de médicos con episodios de ansiedad está entre $0{,}1971$ y $0{,}2829$.



$\textbf{b) Utilizando la proporción obtenida en el apartado anterior como estimador de la proporción de médicos con episodios de ansiedad, ¿de qué tamaño debe ser la muestra de médicos si se desea construir el intervalo anterior con un error máximo de 0,02?}$

Se despeja el tamaño muestral con $E=0{,}02$ y el mismo $z_{\alpha/2}=1{,}88$.

$n=\dfrac{z_{\alpha/2}^{\,2}\cdot\hat{p}\,\hat{q}}{E^{2}} =\dfrac{1{,}88^{2}\cdot 0{,}24\cdot 0{,}76}{0{,}02^{2}}$

$n=\dfrac{3{,}5344\cdot 0{,}1824}{0{,}0004}=\dfrac{0{,}6447}{0{,}0004}=1611{,}69$

Se toma el entero inmediatamente superior: la muestra debe ser de $1612$ médicos.

$\textbf{c) ¿Cuál ha sido el nivel de confianza empleado si, con los mismos datos, el intervalo de confianza obtenido es } \boldsymbol{[0{,}1905,\ 0{,}2895]}\textbf{?}$

La semiamplitud del nuevo intervalo es el error de estimación.

$E=\dfrac{0{,}2895-0{,}1905}{2}=0{,}0495$

De la fórmula del error se despeja el valor crítico.

$z_{\alpha/2}=\dfrac{E}{\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}} =\dfrac{0{,}0495}{0{,}0228}=2{,}17$

Buscando $2{,}17$ en la tabla de la $N(0,1)$ resulta $P(Z\leq 2{,}17)=0{,}9850$, de donde

$1-\alpha=2\cdot 0{,}9850-1=0{,}97$

El nivel de confianza empleado fue del $97$ %.