Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Se ha observado que el número de horas que dedican a caminar cada semana las personas adultas que viven en Canarias sigue una distribución normal de media 5,25 horas, con una desviación típica de 1,25 horas. En esta población:

a) Se elige una persona al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana dedique a caminar más de 6 horas?

b) Calcula la probabilidad de que el número medio de horas semanales dedicadas a caminar por una muestra de 64 personas sea inferior a 5 horas.

c) En una muestra de 1000 personas, ¿cuál es el número esperado de personas que caminan al menos 5,5 horas a la semana?

$\textbf{a) Se elige una persona al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana dedique a caminar más de 6 horas?}$

El número de horas semanales es $X\sim N(5{,}25\,;\,1{,}25)$.

$P(X>6)=P\left(Z>\dfrac{6-5{,}25}{1{,}25}\right)=P(Z>0{,}6)$

$=1-P(Z\leq 0{,}6)=1-0{,}7257=0{,}2743$

La probabilidad de que una persona dedique a caminar más de 6 horas semanales es $0{,}2743$.



$\textbf{b) Calcula la probabilidad de que el número medio de horas semanales dedicadas a caminar por una muestra de 64 personas sea inferior a 5 horas.}$

Para una muestra de tamaño $n=64$ de una población normal,

$\bar{X}\sim N\left(5{,}25,\dfrac{1{,}25}{\sqrt{64}}\right)=N(5{,}25\,;\,0{,}15625)$

$P(\bar{X}<5)=P\left(Z<\dfrac{5-5{,}25}{0{,}15625}\right)=P(Z<-1{,}6)$

Por la simetría de la campana,

$P(Z<-1{,}6)=1-P(Z\leq 1{,}6)=1-0{,}9452=0{,}0548$

La probabilidad de que la media de las 64 personas sea inferior a 5 horas es $0{,}0548$.

$\textbf{c) En una muestra de 1000 personas, ¿cuál es el número esperado de personas que caminan al menos 5,5 horas a la semana?}$

Volvemos a la variable individual para calcular la proporción de personas que caminan 5,5 horas o más.

$P(X\geq 5{,}5)=P\left(Z\geq\dfrac{5{,}5-5{,}25}{1{,}25}\right)=P(Z\geq 0{,}2)$

$=1-P(Z<0{,}2)=1-0{,}5793=0{,}4207$

$1000\cdot 0{,}4207=420{,}7$

Se espera que unas $421$ de las 1000 personas caminen al menos 5,5 horas a la semana.