Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una fábrica de helados produce helados con dos sabores (turrón y pistacho) que se envasan en tarrinas de dos tamaños, pequeño y grande. Las tarrinas pequeñas llevan 200 gramos de helado de turrón y 150 gramos de pistacho; las tarrinas grandes llevan 500 gramos de turrón y 300 de pistacho. La fábrica obtiene un beneficio de 2 € por la venta de cada tarrina pequeña y de 4,50 € por la venta de cada tarrina grande. La fábrica produce cada semana 400 kg de helado de turrón y 255 kg de helado de pistacho que envasa en estas tarrinas. Para satisfacer la demanda de las heladerías de la zona, debe producir semanalmente al menos 200 tarrinas pequeñas y 50 grandes. Suponiendo que pueda vender toda la producción:

a) Formular el correspondiente problema de programación lineal.

b) Representar la región factible.

c) ¿Cuántas tarrinas de cada clase debe producir la fábrica cada semana si quiere maximizar sus beneficios? ¿Cuál es el beneficio máximo?

$\textbf{a) Formular el correspondiente problema de programación lineal.}$

Llamamos $x$ al número de tarrinas pequeñas e $y$ al de tarrinas grandes que se producen cada semana.

Ordenamos los datos en una tabla, con las cantidades de helado en gramos.

$$	$\text{Turrón (g)}$	$\text{Pistacho (g)}$	$\text{Beneficio (€)}$ $\text{Pequeñas } (x)$	$200x$	$150x$	$2x$ $\text{Grandes } (y)$	$500y$	$300y$	$4{,}5y$ $\text{Totales}$	$200x+500y$	$150x+300y$	$2x+4{,}5y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio semanal:

$B(x,y)=2x+4{,}5y$

Las restricciones son:

Se producen 400 kg de turrón, es decir, 400 000 g $\Rightarrow$ $200x+500y\leq 400\,000 \Rightarrow 2x+5y\leq 4000$.

Se producen 255 kg de pistacho, es decir, 255 000 g $\Rightarrow$ $150x+300y\leq 255\,000 \Rightarrow x+2y\leq 1700$.

Hay que producir al menos 200 tarrinas pequeñas y 50 grandes $\Rightarrow$ $x\geq 200$, $y\geq 50$.

$\text{Maximizar } B(x,y)=2x+4{,}5y \quad \text{sujeto a} \quad \begin{cases} 2x+5y\leq 4000 \\ x+2y\leq 1700 \\ x\geq 200;\ y\geq 50 \end{cases}$

$\textbf{b) Representar la región factible.}$

Dibujamos las cuatro rectas frontera; para las oblicuas usamos sus tablas de valores.

$x$	$y=\dfrac{4000-2x}{5}$	$y=\dfrac{1700-x}{2}$ $200$	$720$	$750$ $500$	$600$	$600$

Los vértices se obtienen cortando las rectas dos a dos.

Vértice $A$: $x=200$ con $y=50$ $\Rightarrow A(200,50)$.

Vértice $B$:

$\begin{cases} x=200 \\ 2x+5y=4000 \end{cases} \Rightarrow 5y=4000-400=3600 \Rightarrow y=720 \Rightarrow B(200,720)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} 2x+5y=4000 \\ x+2y=1700 \end{cases} \Rightarrow x=1700-2y$

$2(1700-2y)+5y=4000 \Rightarrow 3400+y=4000 \Rightarrow y=600 \Rightarrow x=500$

Vértice $D$:

$\begin{cases} y=50 \\ x+2y=1700 \end{cases} \Rightarrow x=1600 \Rightarrow D(1600,50)$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $A(200,50)$, $B(200,720)$, $C(500,600)$ y $D(1600,50)$.

$\textbf{c) ¿Cuántas tarrinas de cada clase debe producir la fábrica cada semana si quiere maximizar sus beneficios? ¿Cuál es el beneficio máximo?}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, evaluamos el beneficio en los vértices.

$B(200,50)=2\cdot 200+4{,}5\cdot 50=400+225=625\ \text{€}$

$B(200,720)=2\cdot 200+4{,}5\cdot 720=400+3240=3640\ \text{€}$

$B(500,600)=2\cdot 500+4{,}5\cdot 600=1000+2700=3700\ \text{€}$

$B(1600,50)=2\cdot 1600+4{,}5\cdot 50=3200+225=3425\ \text{€}$

La fábrica debe producir $500$ tarrinas pequeñas y $600$ grandes cada semana, con lo que el beneficio máximo es de $3700$ euros.