Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

En una pared se quiere pintar un mural abstracto. En ese mural hay que pintar la figura encerrada dentro de la parábola $y = x^2 - 1$, y limitada por encima por la recta $y = 11 - x$ y por debajo por el eje OX. Las distancias en los ejes están definidas en metros.

a) ¿Cuántos metros cuadrados mide la figura?

b) El trozo de figura a la izquierda de la recta $x = -1$ se pinta de azul, y el trozo a la derecha de gris. Si cada metro cuadrado de pintura azul cuesta 2 €, y pintar el mural ha costado en total 95 €, ¿cuánto cuesta cada $\text{m}^2$ de pintura gris?

$\textbf{a) ¿Cuántos metros cuadrados mide la figura?}$

La figura queda por encima de la parábola $y=x^{2}-1$, por debajo de la recta $y=11-x$ y por encima del eje $OX$. Localizamos los cortes que la delimitan.

Parábola y recta:

$x^{2}-1=11-x \Rightarrow x^{2}+x-12=0 \Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+48}}{2}=\dfrac{-1\pm 7}{2}$

$\begin{cases} x=-4 \Rightarrow y=15 \\ x=3 \Rightarrow y=8 \end{cases}$

Parábola y eje de abscisas:

$x^{2}-1=0 \Rightarrow x=\pm 1$



Entre $x=-1$ y $x=1$ la parábola queda por debajo del eje $OX$, de modo que ahí el borde inferior de la figura es el propio eje. Hay que partir la integral en tres trozos.

$A_{1}=\int_{-4}^{-1}\big[(11-x)-(x^{2}-1)\big]dx =\int_{-4}^{-1}\left(12-x-x^{2}\right)dx$

$A_{1}=\left[12x-\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-4}^{-1} =\left(-12-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right)-\left(-48-8+\dfrac{64}{3}\right) =\dfrac{45}{2}=22{,}5$

$A_{2}=\int_{-1}^{1}(11-x)\,dx =\left[11x-\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{1} =\left(11-\dfrac{1}{2}\right)-\left(-11-\dfrac{1}{2}\right)=22$

$A_{3}=\int_{1}^{3}\left(12-x-x^{2}\right)dx =\left[12x-\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{3}$

$A_{3}=\left(36-\dfrac{9}{2}-9\right)-\left(12-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right) =\dfrac{45}{2}-\dfrac{67}{6}=\dfrac{34}{3}$

$A=\dfrac{45}{2}+22+\dfrac{34}{3}=\dfrac{135+132+68}{6}=\dfrac{335}{6}\approx 55{,}83$

La figura mide $\dfrac{335}{6}\approx 55{,}83\ \text{m}^{2}$.

$\textbf{b) El trozo de figura a la izquierda de la recta } \boldsymbol{x=-1}\textbf{ se pinta de azul, y el trozo a la derecha de gris. Si cada metro cuadrado de pintura azul cuesta 2 €, y pintar el mural ha costado en total 95 €, ¿cuánto cuesta cada } \boldsymbol{\text{m}^2}\textbf{ de pintura gris?}$

La zona azul es la que va de $x=-4$ a $x=-1$, cuya área ya se ha calculado.

$A_{\text{azul}}=A_{1}=22{,}5\ \text{m}^{2}$

$A_{\text{gris}}=A-A_{\text{azul}}=\dfrac{335}{6}-\dfrac{45}{2}=\dfrac{335-135}{6} =\dfrac{200}{6}=\dfrac{100}{3}\approx 33{,}33\ \text{m}^{2}$

Valoramos la parte azul y despejamos el precio de la gris.

$C_{\text{azul}}=22{,}5\cdot 2=45\ \text{€}$

$C_{\text{gris}}=95-45=50\ \text{€}$

$p=\dfrac{50}{\dfrac{100}{3}}=\dfrac{50\cdot 3}{100}=1{,}5$

Cada metro cuadrado de pintura gris cuesta $1{,}5$ euros.