Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Durante los últimos 15 meses se ha consumido agua de un depósito (en decenas de miles de metros cúbicos) según la siguiente función:

$c(m) = \begin{cases} \dfrac{1}{10}(m^2 - 9m + 30) & 0 \le m < 10 \\[6pt] \dfrac{1}{5}(m^2 - 25m + 170) & 10 \le m \le 15 \end{cases}$

a) Representar gráficamente la función. Justificando las respuestas, decir si es continua, y determinar cuándo es creciente y cuándo es decreciente.

b) ¿Cuándo se alcanzaron los consumos mínimos y máximos? ¿Cuáles fueron los correspondientes valores?

c) ¿Cuándo el consumo fue igual a 10 millones de litros ($10.000\ \text{m}^3$)?

$\textbf{a) Representar gráficamente la función. Justificando las respuestas, decir si es continua, y determinar cuándo es creciente y cuándo es decreciente.}$

Los dos trozos son funciones polinómicas, continuas y derivables en todo su dominio, de modo que solo hay que estudiar el empalme $m=10$.

$\lim_{m\to 10^{-}}c(m)=\dfrac{1}{10}(100-90+30)=\dfrac{40}{10}=4$

$\lim_{m\to 10^{+}}c(m)=\dfrac{1}{5}(100-250+170)=\dfrac{20}{5}=4$

Como $c(10)=4$ y los dos límites laterales valen $4$, la función es continua en todo el intervalo $[0,15]$.

Derivamos cada trozo y buscamos los puntos críticos.

$c'(m)=\begin{cases} \dfrac{1}{10}(2m-9), & 0\leq m<10 \\[8pt] \dfrac{1}{5}(2m-25), & 10<m\leq 15 \end{cases}$

$2m-9=0 \Rightarrow m=4{,}5 \in [0,10) \qquad 2m-25=0 \Rightarrow m=12{,}5 \in (10,15]$

Estudiamos el signo de la derivada.

Si $m=2$, $c'(2)=\dfrac{4-9}{10}<0$: el consumo decrece.
Si $m=8$, $c'(8)=\dfrac{16-9}{10}>0$: el consumo crece.
Si $m=11$, $c'(11)=\dfrac{22-25}{5}<0$: el consumo decrece.
Si $m=14$, $c'(14)=\dfrac{28-25}{5}>0$: el consumo crece.



El consumo decrece en $(0;4{,}5)$ y en $(10;12{,}5)$, y crece en $(4{,}5;10)$ y en $(12{,}5;15)$.



$\textbf{b) ¿Cuándo se alcanzaron los consumos mínimos y máximos? ¿Cuáles fueron los correspondientes valores?}$

Como la función es continua en un intervalo cerrado, los extremos absolutos están entre los puntos críticos y los extremos del intervalo.

$c(0)=\dfrac{30}{10}=3 \qquad c(4{,}5)=\dfrac{1}{10}(20{,}25-40{,}5+30)=\dfrac{9{,}75}{10}=0{,}975$

$c(10)=4 \qquad c(12{,}5)=\dfrac{1}{5}(156{,}25-312{,}5+170)=\dfrac{13{,}75}{5}=2{,}75$

$c(15)=\dfrac{1}{5}(225-375+170)=\dfrac{20}{5}=4$

El consumo mínimo se alcanzó en el mes $4{,}5$, con $0{,}975$ decenas de miles de metros cúbicos, es decir, $9750\ \text{m}^{3}$. El consumo máximo, de $4$ decenas de miles de metros cúbicos, o sea $40\,000\ \text{m}^{3}$, se alcanzó dos veces: en el mes $10$ y en el mes $15$.

$\textbf{c) ¿Cuándo el consumo fue igual a 10 millones de litros } \boldsymbol{(10.000\ \text{m}^3)}\textbf{?}$

Como la función viene dada en decenas de miles de metros cúbicos, $10\,000\ \text{m}^{3}$ corresponden a $c(m)=1$. Resolvemos la ecuación en cada trozo.

En el primer trozo:

$\dfrac{1}{10}(m^{2}-9m+30)=1 \Rightarrow m^{2}-9m+30=10 \Rightarrow m^{2}-9m+20=0$

$m=\dfrac{9\pm\sqrt{81-80}}{2}=\dfrac{9\pm 1}{2} \Rightarrow \begin{cases} m=4 \\ m=5 \end{cases}$

Los dos valores pertenecen a $[0,10)$.

En el segundo trozo:

$\dfrac{1}{5}(m^{2}-25m+170)=1 \Rightarrow m^{2}-25m+165=0$

$\Delta=625-660=-35<0$

No hay solución real, así que este trozo no aporta ningún mes.

El consumo fue de 10 millones de litros en los meses $4$ y $5$.