Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

En un periódico se lee el siguiente titular: «Un 63 % de los españoles valoran positivamente el teletrabajo».

a) Sabiendo que para obtener dicha proporción se han realizado 800 encuestas telefónicas, construir un intervalo de confianza al 90 % para la proporción de españoles que valoran positivamente el teletrabajo.

b) Utilizando el valor publicado por el periódico como estimación inicial de dicha proporción, ¿a cuántas personas habría que encuestar, para estimar la proporción de españoles que valoran positivamente el teletrabajo, con un error máximo del 1 % y con un nivel de confianza del 88 %?

$\textbf{a) Sabiendo que para obtener dicha proporción se han realizado 800 encuestas telefónicas, construir un intervalo de confianza al 90 \% para la proporción de españoles que valoran positivamente el teletrabajo.}$

La proporción muestral es la que publica el periódico.

$\hat{p}=0{,}63 \qquad \hat{q}=0{,}37$

Para una confianza del 90 % es $\alpha=0{,}1$ y $z_{\alpha/2}=1{,}645$.

$E=1{,}645\sqrt{\dfrac{0{,}63\cdot 0{,}37}{800}}=1{,}645\cdot 0{,}0171=0{,}0281$

$IC_{90\%}(p)=(0{,}63-0{,}0281,\ 0{,}63+0{,}0281)=(0{,}6019,\ 0{,}6581)$

Con una confianza del 90 %, la proporción de españoles que valoran positivamente el teletrabajo está entre $0{,}6019$ y $0{,}6581$.



$\textbf{b) Utilizando el valor publicado por el periódico como estimación inicial de dicha proporción, ¿a cuántas personas habría que encuestar, para estimar la proporción de españoles que valoran positivamente el teletrabajo, con un error máximo del 1 \% y con un nivel de confianza del 88 \%?}$

Un error máximo del 1 % es $E=0{,}01$. Para una confianza del 88 % el valor que deja a su izquierda $0{,}94$ está entre $1{,}55$ y $1{,}56$; interpolando se toma $z_{\alpha/2}=1{,}555$.

$n=\dfrac{z_{\alpha/2}^{\,2}\cdot\hat{p}\,\hat{q}}{E^{2}} =\dfrac{1{,}555^{2}\cdot 0{,}63\cdot 0{,}37}{0{,}01^{2}}$

$n=\dfrac{2{,}418\cdot 0{,}2331}{0{,}0001}=\dfrac{0{,}5636}{0{,}0001}=5636{,}42$

Se toma el entero inmediatamente superior: habría que encuestar al menos a $5637$ personas.