Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Se realiza un estudio sobre el gasto en electricidad en los hogares canarios durante el año en curso. A partir de una muestra de 289 viviendas se obtuvo el intervalo de confianza $[128{,}76,\ 134{,}32]$ para el gasto medio mensual (en euros). Sabiendo que la varianza del gasto en electricidad es 729 €²:

a) ¿Cuál fue el gasto medio mensual por hogar en Canarias obtenido en la muestra? ¿Cuál fue el error de estimación cometido? ¿Cuál fue el nivel de confianza con que se obtuvo el intervalo?

b) Usando como valor de la media la estimación puntual obtenida en el apartado a), y tomando una muestra de 576 hogares, ¿cuál es la probabilidad de que el gasto medio en electricidad de dichos hogares sea mayor que 130 €?

$\textbf{a) ¿Cuál fue el gasto medio mensual por hogar en Canarias obtenido en la muestra? ¿Cuál fue el error de estimación cometido? ¿Cuál fue el nivel de confianza con que se obtuvo el intervalo?}$

El intervalo de confianza para la media es simétrico respecto de la media muestral, de modo que ésta es su centro y el error de estimación su semiamplitud.

$\bar{x}=\dfrac{128{,}76+134{,}32}{2}=131{,}54\ \text{€}$

$E=\dfrac{134{,}32-128{,}76}{2}=2{,}78\ \text{€}$

La desviación típica es la raíz de la varianza.

$\sigma=\sqrt{729}=27\ \text{€}$

De la fórmula del error se despeja el valor crítico.

$z_{\alpha/2}=\dfrac{E\sqrt{n}}{\sigma}=\dfrac{2{,}78\cdot\sqrt{289}}{27} =\dfrac{2{,}78\cdot 17}{27}=\dfrac{47{,}26}{27}=1{,}75$

Buscando $1{,}75$ en la tabla de la $N(0,1)$ resulta $P(Z\leq 1{,}75)=0{,}9599$, de donde

$1-\alpha=2\cdot 0{,}9599-1=0{,}9198$

El gasto medio muestral fue de $131{,}54$ euros, el error de estimación $2{,}78$ euros y el nivel de confianza del $92$ % aproximadamente.



$\textbf{b) Usando como valor de la media la estimación puntual obtenida en el apartado a), y tomando una muestra de 576 hogares, ¿cuál es la probabilidad de que el gasto medio en electricidad de dichos hogares sea mayor que 130 €?}$

Con $\mu=131{,}54$, $\sigma=27$ y $n=576$, la media muestral se distribuye

$\bar{X}\sim N\left(131{,}54,\dfrac{27}{\sqrt{576}}\right)=N(131{,}54\,;\,1{,}125)$

$P(\bar{X}>130)=P\left(Z>\dfrac{130-131{,}54}{1{,}125}\right)=P(Z>-1{,}37)$

Por la simetría de la campana,

$P(Z>-1{,}37)=P(Z<1{,}37)=0{,}9147$

La probabilidad de que el gasto medio de los 576 hogares supere los 130 euros es $0{,}9147$.