Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Una compañía de seguros tiene asegurados 2500 coches, 560 guaguas y 220 motos. Se estima que las probabilidades de tener un accidente a lo largo de un año son 0,1 para los coches, 0,08 para las guaguas y 0,16 para las motos.

a) ¿Cuál es el número total de vehículos (sumando coches, guaguas y motos) que se puede esperar que tengan un accidente a lo largo del próximo año?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo año tengan un accidente al menos 270 de los coches asegurados?

c) La Administración Tributaria decide inspeccionar las cuentas de esta aseguradora. Para realizar la inspección elige al azar las pólizas de 10 de los vehículos asegurados por la compañía. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los vehículos elegidos haya al menos dos guaguas?

$\textbf{a) ¿Cuál es el número total de vehículos (sumando coches, guaguas y motos) que se puede esperar que tengan un accidente a lo largo del próximo año?}$

El número esperado de accidentes en cada grupo es el producto del número de vehículos por su probabilidad de accidente, es decir, la media de la binomial correspondiente.

$2500\cdot 0{,}1=250\ \text{coches}$

$560\cdot 0{,}08=44{,}8\ \text{guaguas}$

$220\cdot 0{,}16=35{,}2\ \text{motos}$

$250+44{,}8+35{,}2=330$

Se puede esperar que $330$ vehículos tengan un accidente a lo largo del próximo año.

$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo año tengan un accidente al menos 270 de los coches asegurados?}$

Sea $X$ el número de coches accidentados, con $X\sim B(2500;0{,}1)$.

$\mu=2500\cdot 0{,}1=250 \qquad \sigma=\sqrt{2500\cdot 0{,}1\cdot 0{,}9}=\sqrt{225}=15$

Como $n\,p=250>5$ y $n\,q=2250>5$, aproximamos por la normal $X'\sim N(250,15)$ con corrección de continuidad.

$P(X\geq 270)\approx P(X'\geq 269{,}5) =P\left(Z\geq\dfrac{269{,}5-250}{15}\right)=P(Z\geq 1{,}30)$

$=1-P(Z<1{,}30)=1-0{,}9032=0{,}0968$

La probabilidad de que al menos 270 coches tengan un accidente es $0{,}0968$.



$\textbf{c) La Administración Tributaria decide inspeccionar las cuentas de esta aseguradora. Para realizar la inspección elige al azar las pólizas de 10 de los vehículos asegurados por la compañía. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los vehículos elegidos haya al menos dos guaguas?}$

La compañía asegura en total

$2500+560+220=3280\ \text{vehículos}$

de modo que la probabilidad de que una póliza elegida al azar sea de una guagua es

$p=\dfrac{560}{3280}=\dfrac{7}{41}\approx 0{,}1707$

Si $X$ es el número de guaguas entre las 10 pólizas elegidas, $X\sim B(10;0{,}1707)$. Pasamos al suceso contrario.

$P(X\geq 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$

$P(X=0)=0{,}8293^{10}=0{,}1539$

$P(X=1)=10\cdot 0{,}1707\cdot 0{,}8293^{9}=0{,}3166$

$P(X\geq 2)=1-0{,}1539-0{,}3166=0{,}5295$

La probabilidad de que entre los 10 vehículos elegidos haya al menos dos guaguas es $0{,}5295$.