Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2023

Un joyero quiere revender una lámina de oro cuyos márgenes limitan las funciones $f(x) = (x - 2)^2$ y $g(x) = x + 4$. Si se mide en centímetros:

a) Hacer una gráfica de la lámina. ¿Cuál es la superficie de la lámina?

b) Si cada centímetro cuadrado de lámina pesa 2 gramos, ¿cuántos gramos pesa la lámina?

c) Si el costo de adquisición de la lámina fue de 20 euros por gramo, ¿cuál debe ser el precio que debe poner a cada gramo de oro para tener un beneficio de 625 euros?

$\textbf{a) Hacer una gráfica de la lámina. ¿Cuál es la superficie de la lámina?}$

La lámina es el recinto limitado por la parábola $f(x)=(x-2)^{2}$ y la recta $g(x)=x+4$, así que empezamos por sus puntos de corte.

$(x-2)^{2}=x+4 \Rightarrow x^{2}-4x+4=x+4 \Rightarrow x^{2}-5x=0$

$x(x-5)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \Rightarrow y=4 \\ x=5 \Rightarrow y=9 \end{cases}$

Entre $x=0$ y $x=5$ la recta queda por encima de la parábola, cuyo vértice está en $(2,0)$.



Integramos la diferencia entre la función de arriba y la de abajo.

$A=\int_{0}^{5}\big[(x+4)-(x-2)^{2}\big]dx =\int_{0}^{5}\left(x+4-x^{2}+4x-4\right)dx$

$A=\int_{0}^{5}\left(5x-x^{2}\right)dx =\left[\dfrac{5x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{5}$

$A=\dfrac{125}{2}-\dfrac{125}{3}=\dfrac{375-250}{6}=\dfrac{125}{6}\approx 20{,}83$

La lámina tiene una superficie de $\dfrac{125}{6}\approx 20{,}83\ \text{cm}^{2}$.

$\textbf{b) Si cada centímetro cuadrado de lámina pesa 2 gramos, ¿cuántos gramos pesa la lámina?}$

$m=2\cdot\dfrac{125}{6}=\dfrac{125}{3}\approx 41{,}67\ \text{g}$

La lámina pesa $\dfrac{125}{3}\approx 41{,}67$ gramos.

$\textbf{c) Si el costo de adquisición de la lámina fue de 20 euros por gramo, ¿cuál debe ser el precio que debe poner a cada gramo de oro para tener un beneficio de 625 euros?}$

El coste de adquisición de toda la lámina es

$C=20\cdot\dfrac{125}{3}=\dfrac{2500}{3}\approx 833{,}33\ \text{€}$

Llamamos $p$ al precio de venta por gramo. El beneficio es el ingreso menos el coste.

$\dfrac{125}{3}\,p-\dfrac{2500}{3}=625$

$\dfrac{125}{3}\,p=\dfrac{2500}{3}+625=\dfrac{2500+1875}{3}=\dfrac{4375}{3}$

$p=\dfrac{4375}{125}=35$

El joyero debe poner cada gramo de oro a $35$ euros.