Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

El beneficio de una empresa, en miles de euros, a lo largo de 50 años viene dado por:

$B(t) = \begin{cases} -0{,}04t^2 + 2{,}4t & \text{para } 0 \le t < 40 \\[6pt] \dfrac{40t - 320}{t} & \text{para } 40 \le t \le 50 \end{cases}$

siendo $t$ el tiempo transcurrido (en años).

a) Estudiar la continuidad y la derivabilidad de $B(t)$ a lo largo de los 50 años.

b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de $B(t)$. ¿Cuál es el beneficio máximo y cuándo se produjo?

c) Hacer una gráfica de $B(t)$.

$\textbf{a) Estudiar la continuidad y la derivabilidad de } \boldsymbol{B(t)}\textbf{ a lo largo de los 50 años.}$

El primer trozo es una función polinómica y el segundo una función racional cuyo denominador solo se anula en $t=0$, valor que no pertenece a $[40,50]$. Ambos son continuos y derivables en su intervalo, de modo que solo hay que estudiar el empalme $t=40$.

$\lim_{t\to 40^{-}}B(t)=-0{,}04\cdot 40^{2}+2{,}4\cdot 40=-64+96=32$

$\lim_{t\to 40^{+}}B(t)=\dfrac{40\cdot 40-320}{40}=\dfrac{1280}{40}=32$

Como $B(40)=32$ y los dos límites laterales valen $32$, la función es continua en todo el intervalo $[0,50]$.

Para la derivabilidad conviene escribir el segundo trozo como $B(t)=40-\dfrac{320}{t}$.

$B'(t)=\begin{cases} -0{,}08t+2{,}4, & 0\leq t<40 \\[6pt] \dfrac{320}{t^{2}}, & 40<t\leq 50 \end{cases}$

$B'(40^{-})=-3{,}2+2{,}4=-0{,}8 \qquad B'(40^{+})=\dfrac{320}{1600}=0{,}2$

Las derivadas laterales son distintas, así que $B(t)$ no es derivable en $t=40$; sí lo es en el resto del intervalo.

$\textbf{b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de } \boldsymbol{B(t)}\textbf{. ¿Cuál es el beneficio máximo y cuándo se produjo?}$

Buscamos los puntos críticos.

$-0{,}08t+2{,}4=0 \Rightarrow t=\dfrac{2{,}4}{0{,}08}=30 \in [0,40)$

En el segundo trozo la derivada es $\dfrac{320}{t^{2}}>0$ para todo $t$, así que la función siempre crece ahí.

Estudiamos el signo de la derivada.

Si $t=10$, $B'(10)=-0{,}8+2{,}4=1{,}6>0$: el beneficio crece.
Si $t=35$, $B'(35)=-2{,}8+2{,}4=-0{,}4<0$: el beneficio decrece.
Si $t=45$, $B'(45)=\dfrac{320}{2025}>0$: el beneficio crece.



El beneficio crece en $(0,30)$, decrece en $(30,40)$ y vuelve a crecer en $(40,50)$.

Como la función es continua en un intervalo cerrado, el máximo absoluto está entre el punto crítico y los extremos.

$B(0)=0 \qquad B(30)=-0{,}04\cdot 900+2{,}4\cdot 30=-36+72=36$

$B(50)=40-\dfrac{320}{50}=40-6{,}4=33{,}6$

El beneficio máximo fue de $36$ miles de euros, es decir, 36 000 euros, y se produjo a los $30$ años.

$\textbf{c) Hacer una gráfica de } \boldsymbol{B(t)}\textbf{.}$

Con la información anterior —parábola de vértice $(30,36)$ que arranca en el origen, punto anguloso en $(40,32)$ y rama creciente hasta $(50;33{,}6)$— se representa la función.