Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Se realiza un estudio para evaluar qué proporción de los pasajeros en las rutas interinsulares viaja con descuento de residente. Para ello se toma una muestra de 300 pasajeros, de los cuales se observa que 225 viajan con este descuento.

a) Determinar un intervalo de confianza, al 96 %, para la proporción de pasajeros que viajan con descuento de residente.

b) Usando la proporción de pasajeros con descuento de residencia calculada en esta muestra como estimación de dicha proporción en la población, ¿de qué tamaño debería ser la muestra si se desea construir un intervalo de confianza al 92 % para esa proporción con un error máximo de 0,03?

c) Si se pierden los datos de 5 de los pasajeros de la muestra, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos viajara con descuento de residencia?

$\textbf{a) Determinar un intervalo de confianza, al 96 \%, para la proporción de pasajeros que viajan con descuento de residente.}$

Calculamos la proporción muestral.

$\hat{p}=\dfrac{225}{300}=0{,}75 \qquad \hat{q}=0{,}25$

Para una confianza del 96 % es $\alpha=0{,}04$ y el valor que deja a su izquierda $0{,}98$ es $z_{\alpha/2}=2{,}05$.

$E=2{,}05\sqrt{\dfrac{0{,}75\cdot 0{,}25}{300}}=2{,}05\sqrt{0{,}000625} =2{,}05\cdot 0{,}025=0{,}05125$

$IC_{96\%}(p)=(0{,}75-0{,}05125,\ 0{,}75+0{,}05125)=(0{,}69875,\ 0{,}80125)$

Con una confianza del 96 %, la proporción de pasajeros con descuento de residente está entre $0{,}69875$ y $0{,}80125$.



$\textbf{b) Usando la proporción de pasajeros con descuento de residencia calculada en esta muestra como estimación de dicha proporción en la población, ¿de qué tamaño debería ser la muestra si se desea construir un intervalo de confianza al 92 \% para esa proporción con un error máximo de 0,03?}$

Se despeja el tamaño muestral de la fórmula del error, con $E=0{,}03$ y $z_{\alpha/2}=1{,}75$, valor que deja a su izquierda $0{,}96$.

$n=\dfrac{z_{\alpha/2}^{\,2}\cdot\hat{p}\,\hat{q}}{E^{2}} =\dfrac{1{,}75^{2}\cdot 0{,}75\cdot 0{,}25}{0{,}03^{2}}$

$n=\dfrac{3{,}0625\cdot 0{,}1875}{0{,}0009}=\dfrac{0{,}5742}{0{,}0009}=638{,}02$

Se toma el entero inmediatamente superior: la muestra debería ser de $639$ pasajeros.

$\textbf{c) Si se pierden los datos de 5 de los pasajeros de la muestra, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos viajara con descuento de residencia?}$

Si $X$ es el número de los 5 pasajeros que viajan con descuento, entonces $X\sim B(5;0{,}75)$.

$P(X=0)=\binom{5}{0}\cdot 0{,}75^{0}\cdot 0{,}25^{5}=0{,}25^{5}$

$P(X=0)=\dfrac{1}{1024}\approx 0{,}00098$

La probabilidad de que ninguno de los cinco pasajeros viajara con descuento de residencia es $0{,}00098$, es decir, menos de una milésima.